凸函数的几何特征与分类.pdf

第 17卷第 1期 高 等 数 学 研 究 V01．17，No．1 2014年 1月 STUDIESIN C0LLEGE MATHEMATICS Jan．，2014 DOI：10．3969／j．issn．1008——1399．2014．01．026 凸函数的几何特征与分类 李微微 ，范胜君。 (1．石家庄铁道大学 四方学院基础部，河北 石家庄 051132； 2．中国矿业大学 理学院，江苏 徐州 221116) 摘 要 由凸函数的充要条件 ，证明关于凸函数的三个命题 ，据 以讨论凸函数的几何特征，给出凸函数的三种 分类 以及其对应 图形，由此得 出关于 凸函数 的几个结论． 关键词 凸函数 ；分类 ；图形 中图分类号 O174．13 文献标识码 A 文章编号 1008—1399(2014)01—0083—03 onGeometricCharacteristicsofConvexFunctions LIWeiwei， FANShengjun (1．FoundationDepartment，ShijiazhuangTiedaoUniversitySifangCollege，Sh~iazhuang051132，PRC； 2．SchoolofSciences，ChinaUniversityofM iningandTechnology，Xuzhou，221116，PRC) Abstract： Based on a necessary and sufficient condition for convex functions， three propositions about convex functions are proved， followed by three reasonable geometric classificationsand somecOnclusions． ， Keywords： convexfunction，classification，figure 凸函数是一个重要的概念，它涉及到许多数学命 1 凸函数的三个命题 题的证明与应用，在数学规划、控制论 、信息论等学科 有着重要的意义和应用．本文从凸函数的基本概念 出 为了对凸函数进行分类，先给出三个命题． 发 ，根据凸函数的一个充要条件得 到三个命题．然后 命题 1 设 ，()为 上 的凸函数 ，X∈ ．若 在此基础上对定义域为 的凸函数做出三种合理的 ，() ，() (z)， 分类并列出相应的图形．最终根据这些图形给出定义 则 ，(z)在区间[，+。。)上严格递增．若 域为 的凸函数的几何解释和三个结论． ，(z) ，() (z z)， 定义 1口] 设 (z)为定义在 上的函数 ，若对 则 ，()在区间(一o。，z]上严格递减． 任意两点 z ，X。∈ 和任意实数 ∈ (O，1)均有 证明 只证命题的前半部分，后半部分证明与 ，( + (1一 )恐)≤ (∞)+ (1一 )，()， 之类似 ，从略．任取YY Y。，因为 ，()为凸函 则称 ，(z)为 上 的凸函数．若上式 中的不等式改 数 ，根据引理 1有 为严格不等式 ，则称 ，(z)为严格凸函数． ，()一 )／，()一，( ／f(Y2)一，()