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上凸函数和下凸函数

在数学中，上凸函数和下凸函数（也被称为凸函数和凹函数）是描述函数曲线弯曲方向的重要概念。

一、定义

上凸函数（CovexFunction）：

对于所有满足ax1?x2?b的x1?,x2?∈[a,b]，以及所有λ∈(0,1)，都有f(λx1?+(1?λ)x2?)≤λf(x1?)+(1?λ)f(x2?)。

几何意义：在函数图像上，任意两点间的弦位于这两点间曲线段的上方。即连接函数图像上任意两点的线段总是位于该函数图像之上。

下凸函数（ConcaveFunction）：

对于所有满足ax1?x2?b的x1?,x2?∈[a,b]，以及所有λ∈(0,1)，都有f(λx1?+(1?λ)x2?)≥λf(x1?)+(1?λ)f(x2?)。

几何意义：在函数图像上，任意两点间的弦位于这两点间曲线段的下方。即连接函数图像上任意两点的线段总是位于该函数图像之下。

注意：在数学文献中，“下凸”这一术语并不常见，通常直接称其为“凹函数”。但为了与“上凸”形成对比，这里使用了“下凸”的说法。

二、图像特征

上凸函数：

图像开口向下，形成一个顶点向下的抛物线型或“碗”状。

随着x值的增加，函数值先增后减。

下凸函数：

图像开口向上，形成一个顶点向上的抛物线型或“帽”状。

随着x值的增加，函数值先减后增。

三、数学性质

上凸函数：

二阶导数小于0，表示函数的斜率在不断减小，即函数曲线是向下弯曲的。

极小值点也是全局最小值点。

在其定义域内是连续的，且在除可数个点之外的所有点都可微。

对于一元可微函数来说，如果它在某个区间上是上凸的，那么它的导数在该区间上将是单调不减的。

下凸函数：

二阶导数大于0，表示函数的斜率在不断增加，即函数曲线向上弯曲。

极大值点也是全局最大值点。

也具有良好的连续性和可微性。

四、实例

上凸函数：

二次函数y=x2是一个典型的上凸函数。

绝对值函数f(x)=∣x∣也是上凸函数的一个例子。

下凸函数：

函数y=?x?（在定义域内）是一个典型的凹函数（按上述定义即为下凸函数）。

二次函数f(x)=ax2+bx+c（其中a0）也是一个典型的下凸函数，其图像是一个开口向上的抛物线。

五、应用

上凸函数：

在求解最小化问题时，如果目标函数是上凸的，那么通过任何局部搜索算法找到的极小值点都将是全局最优解。

下凸函数：

在求解最大化问题时，如果目标函数是下凸的，那么通过局部搜索找到的极大值点也将是全局最优解。

在经济学中的效用函数、物理学中的势能函数等也常表现为下凸函数的形式。

上凸函数和下凸函数在数学和实际应用中都具有重要的地位和作用。通过深入理解这些函数的定义、图像特征、数学性质和应用场景，可以更好地把握函数的本质特征并解决实际问题。