二元凸函数的判别条件.pdf

维普资讯 2008年3月 纯粹数学与应用数学 M8r．20o8 第24卷 第1期 PureandApplied Mathematics V0l1．24No．1 二元凸函数的判别条件 方 逵 ，一，朱幸辉 ，刘华富2 (1．湖南农业大学，信息科学与技术学院，湖南 长沙， 410128； 2．长沙大学计算机科学与技术系，湖南 长沙，410003) 摘 要：给出了二元凸函数的定义，导出了二元凸函数的判别条件，该判别条件由二元函 数的二阶导数给出．用二元凸函数的判别条件和半正定的 (半负定)矩阵的性质，得到了 二元二次多项式凸性的简单判别形式． 关 键 词：凸函数；多元函数：凸性条件 中图分类号：O156．4 文献标识码：A 文章编-~-：1008-5513(2008)01—0097-05 1 引 言 函数的凸性研究在函数逼近论、计算机辅助几何设计、计算机图形学等领域有着十分重要 的应用．对一元函数的凸性研究已有丰富的研究成果，80年代初期，Shumaker[l等人对分段二次 多项式插值样条函数的保凸性进行了研究，并且构造了保凸的二次插值算法．至 90年代，Brodlie andButt[l讨论了保凸的分段三次多项式插值。在每个子区间至多插入一个内结点可构造 C 连 续的保凸分段三次多项插值．Steven0[l构造了C 连续的保形分段三次多项插值．Pnadall4[]等综 述了三次多项式的保凸算法．方逵 研究了一般多项式的保凸条件，并构造了C七连续的保形插 值多项式．但是，目前对二元函数的凸性研究很少，只有 Lia[7]研究了凸二元三次多项式的拼接条 件，Dahmen[0l给出了多元 Bernstein-Bezier多项式项和箱样条的凸性条件，李爱狄9【】导出了隐式 曲面的保凸条件．我们从凸函数的定义出发，给出了二元凸函数的定义，导出了二元凸函数的判别 条件．用二元凸函数的判别条件和半正定的 (半负定)矩阵的性质，得到了二元二次多项式的简单判 别方法． 2 函数曲面的凸性条件 定义 1 设函数f(x)cc[a，，若对 a【， 中任意两点Xl，x2恒有 ／ TXl~X2)1[，(+z)】 则称f(x)在 a【，64上是向上凸的，简称上凸．若恒有 ~-X2 ‘ ，／Xl - 2 )1if(+z)】 收稿日期：2005-12-09 基金项 目：湖南省自然科学基金 (06JJ4073)，长沙市高新技术项 目(K03170-62)． 作者简介：方适 (1963-)，博士，教授，研究方向：计算机辅助几何设计和计算机图形学． 维普资讯 纯粹数学与应用数学 第 24卷 则称f(x)在 [a，6I上是向下凸的，简称下凸． 我们可以将凸函数的定义改为如下的等价的形式． 定义2 设函数，()cc口【，b]，对任意 c[nI6]，若 +Ax，—Axc0【，，恒有 f(x) f【(x+△)+f(x—Ax)] 则称，()在 a，6I上是向上凸的，简称上凸，而，()称为 a，6j上的上凸函数·若恒有 f(x) [f(x+△)+f(x—Ax)】 则称，(z)在 0【，b]上是向下凸的，简称下凸，而，()称为 0【，b]上的下凸函数．