凸函数.doc

§3.2.6 如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数是凸函数，如果其满足：，对所有这里我们注意集合D叫做凸集，如果对于任意和，也在D中，其几何意义是D是这些半空间的交点。 如果是凸函数，则叫做凹函数，如果既凸又凹，则是一条直线。例如：，是常数。 定理：函数在内二阶可导，是凸函数当且仅当 一般地，定义在维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于。若所有的二阶导数都存在，那么的海塞矩阵即，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式，这里，是线性的。 作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder不等式。 Holder不等式：如果，其中都是正数，且，则 等号成立当且仅当两向量和共线。 证明：的二阶导数为：，它是负的，所以这个函数是凹的，我们得到对于所有,有 ， 所以，利用这个结论，如果我们令，则 则不等式即证得。 通过类比，序列满足，所有，叫做凸序列，如果是凸序列，则是凹序列。同理，若序列其二阶导数，则这个序列是凸的，若其二阶导数大于等于0，则序列是凹的，下面的例子解释了为什么把凸序列和凸函数放在一起研究的原因。 例1：已知是有界凸序列，证明：。 证明：一个定义在上的有界凸函数有水平渐进线，所以它的导数无限趋近于0，我们的问题是这个结论是离散的。这个序列的一阶导数为：，由凸序列的性质可以写成，这就推出是单调递增的，又是有界的，所以也是有界的，又是单调的，由维尔斯特拉斯定理，单调有界必收敛，所以必存在极限，如果则最终是正的，所以是递增的，再有维定理，必收敛于某个极限，则，同理同样也会出现矛盾，所以只存在一种可能。 下面是一些有关的问题。 425．令是正实数，求实数a使得426．已知a,b大于0，x,c1.证明 ： 427．已知一个三角形，边长满足，对应角为A,B,C。证明：. 428如果函数是凸函数，则在上连续。 429证明一个定义在凸环上的连续函数是凸的，当且仅当对于任何，。如果一个实数函数对所有实数满足，我们定义为严格函数，证明这样的严格函数不存在。 已知：是一个凸函数，证明：对于所有 如果对于所有实数a，正实数数列使得是一个凸序列，,则也是凸的。 求最大常数C满足对于和每一个凸序列，都有 一个闭区间上的凸函数其最大值是在其闭区间的端点处取得的，我们用罗马尼亚的蒂米什瓦拉数学公报上由V.Cartoge和Lascu先生提出的问题，来说明利用这个定理有效的处理问题。 例2：已知,证明： 证明：将所求证的不等式左边的平方式展开，并且移项到右边，我们得到等价的不等式： 现在我们发现左边的表达式对每一个变量来说都是凸函数，所以当或者3时，左边的表达式能取到最大值。如果中有个数取3，则有个数取1，这里能取1，2，3或4，则原不等式为：显然成立，等号成立的条件是 中有1个取3，另外3个取1不等式证毕 已知是三个固定正数，是一个给定的区间，求中的三个数x,y,z使得取得最大值。和，证明对于任何，对于任何自然数和任何，证明：对于任何正实数a,b下列不等式成立 已知是上连续实函数，且对于任何和h0满足证明: 在闭区间上的最大值是其中的一个极值 是凸函数。，已知是凸域中的点，且，且，则。 若是非线性且不全相等，则不等式是严格成立的，如果是凹函数，则不等号相反。 证明：证明的方法是对进行归纳，基本的方法是利用个凸函数的定义。假设不等式对于个点和个加权数是成立的，那我们考虑个点和加权数，已知，记和，利用基本定义和归纳猜想，可以推出： = 即为所求。对于凹函数，使不等号反向即可。 作为琴生不等式的应用，我们证明下列命题： 推广的平均不等式：给定整数和加权数，且，则下面的不等式成立， 。 证明：取，利用凹函数和琴生不等式可得： 当的时候，我们可以得到AM-GM不等式。 已知A,B,C是三角形的三个顶点，则。已知是非负数，，并且，已知，证明 。证明对于任何正实数，都有。 已知，令 证明： 已知， ，求证： 425．令是正实数，求实数a使得。进行递增排序，对每个函数来说是凸函数，则这些函数的和也是凸函数，且是分段函数。对于这种条件的f来说，右导数等于中小于等于的元素个数减去中大于a的元素的个数，当导数的符号发生变化的时候，整体能达到最大值。如果n是奇数，则在处取得最大值，如果n是偶数，如果f在是在区间内一阶导数为0，则f是常数函数。 备注：所要求的是的中间值。一般说来，如果发生是概率分布，则他们的中间值a最小。，中间值就是和，对于我们的问题的特殊情形，都是等概率发生的，所以中间值依赖于中间的部位。 426．