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利用几何凸函数的性质证几个不等式 张小明 浙江海宁电大 314400 摘要：利用几何凸函数的性质证明几个不等式，这几个不等式都有一定的重要性，用其余方法证明都比较复杂一些，从而说明利用几何凸函数的性质来证明不等式，正如[6]所言的,是一种很好的方法． 关键词：不等式；几何凸函数；Schur—几何凸函数； 中图分类号：O178.1 文献标识码：A 1 几个定义和定理 设为n维实行向量和n维分量为正的实行向量，对于，定义如下的映射，,定义； 又定义如下的映射以下都设．． 为几何凸集，若任取 都有．为几何凸集，，任取若满足 定义3 若在H上，则称在H上为Schur—几何凸函数，简称S-几何凸; 则称在H上为Schur—几何凹函数，简称S-几何凹．为几何凸（凹）函数，则为Schur—几何凸（凹）． 定理 设对称函数在几何凸集H上一阶可微，任取有 则为H 上的Schur—几何凸；若上式不等号反向，则为H 上的Schur—几何凹函数．都为正，，则对数控制． 是分量为非负的向量且． 2 主要内容 在文[1]中，笔者利用几何凸函数的性质，用极其简洁的方法，证明了算术平均数不小于几何平均数，这里再证杨克昌先生在[2]中的一个结果． 例1 设其中求证 证明 设,则，有 故为S—几何凸，又明显所以 设处取最小值，代入（1）式即证命题． 注：如果此题用凸函数来证，要复杂一些． 例2 设求证 证明 为了叙述上的方便，设，有 ． 故为S—几何凹，利用定理．命题得证． 注：这个问题的提出是很自然的，（2）式的左边也是凸函数，用凸函数的性质得到的结果，比这里要弱． 设，当为奇数 时，当为偶数时，则 证明 时，命题为显然，当时，设，则 其中有项，有项，且每一项都不小于1，故为S—几何凹，利用定理．命题得证． 下例在[1]中未证，在此证明 例4 求证 （1）时，有 （2）时，有 证明 （1）设，有， 用导数可证在为递增，（3）式为非负，为S—几何凸，结论成立． （2）此时为S—几何凹，结论为同理可证. 注：这例题是与[3]的P129的幂平均不等式相对应的一个结果,相应有下例． 例5 求证 （1）时，有 （2）时，有 （Fanky不等式）（1）设则 （2）设则 (3) 设则 证明 （1）设则，命题化为 设则 所以S-几何凹，至此（4）式成立，命题（1）成立. (2)其实此时(5)式为负，是S-几何凸，命题（2）成立. (3) 设命题（3）同理可证. 参考文献 [1]张小明，几何凸函数的几个定理及其应用（待发）. [2]杨克昌，湖南数学通讯[J]，1986（4），P19-20. [3]匡继昌，常用不等式[M]（第一版），长沙：湖南教肩出版社，1989. [4]王伯英.控制不等式基础[M].北京：北京师范大学出版社，1990. [5]杨定华.有关积凸函数的一个不等式（不等式研究[M]）（杨学枝主编）,西藏：西藏人民出版社，2000，71-74. [6]杨定华.关于几何凸函数的不等式[J].河北大学学报（自然科学版）,2002,22（4）:325-328. - 4 -