多元函数微分法及其应用(交).doc

2012-2013第一学期本科高等数学教案 授课院系 授课专业 授课班级 授课教师 兰州工业学院高等数学教案 教师姓名 授课班级 授课时数 2 授课形式 讲授 所用教具 授课日期 所用教材 《高等数学》（同济6版） 参 考 书 目 教学手段 板书□√ 多媒体□ 混合□ 授课章节 名称 第八章 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 教学目的 要求 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义； 2、理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质，会求简单的二元函数的极限问题； 3、通过与一元函数相应概念的比较，培养学生分析与解决问题的能力。 教学重点 二元函数的概念； 2、二元函数的极限与连续性。 教学难点 二元函数的极限问题 更新补充 内容 教学提纲 复习引入 1.复习一元函数的有关概念，引入二元函数的概念。 知识模块1 1. 平面点集和n维空间 2. 多元函数概念 知识模块2 1. 多元函数的极限 2. 多元函数的连续性 ………………………………. 四、课堂练习 P62 习题9-1 1、5、6 课外作业 P62、P63 习题9-1 2、6、（2）（3） 多元函数可看作一元函数的推广，因而多元函数的许多相关概念与一元函数的类似，在学习多元函数的一些概念时要与一元函数的做比较，这样一方面可以复习一元函数的知识，另一方面可以让我们更容易学习多元函数的内容。 授 课 主 要 内 容 一、复习引入（或背景介绍、体系介绍、历史演变介绍、专业应用介绍等） 一元函数是只含有一个自变量的函数，但在实际问题中，经常会遇到一个因变量依赖于几个自变量的情形，这就引入多元函数的概念。 二、平面点集和维空间 1、平面点集的相关概念 （1）平面点集：坐标平面上具有某种性质的点的集合, 称为平面点集, 记作 （2）邻域：设是平面上的一个点，是某一正数。与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即 或 注：邻域的几何意义：表示平面上以点为中心、为半径的圆的内部的点的全体。 点的去心邻域，记作，即。 （3）点与点集之间的关系：任意一点与任意一个点集之间必有以下三种关系中的一种： (a)内点:如果存在点的某一邻域,使得,则称为的内点； (b)外点：如果存在点P的某个邻域，使得，则称为的外点； (c)边界点：如果点的任一邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边点。的边界点的全体，称为E的边界，记作?E。 注：E的内点必属于E,E的外点必定不属于E, 而E的边界点可能属于E,也可能不属于E。 （4）聚点：如果对于任意给定的??0，点P的去心邻域内总有中的点，则称P是E的聚点。 由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E，也可能不属于E。 （5）开集：如果点集E 的点都是内点，则称E为开集。 （6）闭集：如果点集的余集E c为开集，则称E为闭集。 （7）连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集。 （8）区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域。 （9）闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。 （10）有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数，使得 ? 其中是坐标原点，则称为有界点集。 （11）无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。 2、维空间 定义1：设为取定的一个自然数，元有序数组的全体，即 称为维空间。称为维空间中的一个点，称为该点的第个坐标。 当时，维空间分别是我们熟悉的数轴、平面及三维空间。 维空间中两点与的距离规定为 注：在维空间中定义了距离后，平面中邻域、区域及关于点集E的内点、边界点、聚点等概念均可类似地推广到维空间的点集上去。 三、多元函数概念 例圆柱体的体积、高之间具有关系。 这里当内取定一对值时，对应的值就随之确定。 例2一定量的理想气体的压强和绝对温度之间具有关系，其中为 常数。这里当在集合内取定一对值时，的对应值就随之确定。 定义2：设为平面上的一个非空点集。如果对于中每一点，按照法则，总有唯一确定的实数与之对应，则称是上的二元函数，记为 ，或， 点集称为函数的定义域，称为自变量，称为因变量。 注：（1）在定义2中，中每一点对应的实数称为在点的函数值；数集 称为该函数的值域；点集称为二元函数的图形。 (2) 关于二元函数的定义域，我们作如下约定: 如果该函数采用解析式表示，而没明确指出定义域，则该函数的定义域理解为使这个解析