逆矩阵的推广和应用毕业论文.doc

分类号 编 号 毕业论文 题 目 学 院 姓 名 专 业 学 号 研究类型 指导教师 提交日期 逆矩阵的推广和应用 （天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,741000） 摘 要：本文首先总结和归纳了可逆矩阵的性质和几种常见的求法，最后讲述了可逆矩阵在线性方程组和保密通信中的应用，同时例举了具体的应用实例。 关键词：逆矩阵；矩阵；初等变换；线性方程组；通信；保密通信 Inverse matrix promotion and application Tutor：ool of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China) Abstract: This paper firstly summarized and concluded the nature of the matrix and reversible several kind of common method, and finally tells the story of reversible matrix in linear equations and secret communication, and the application examples of specific application example. Key Words： inverse matrix, matrix, elementary transformation, linear equations, communication, communication security，，，2.1　阶方阵的行列式不等于零，则称为非奇异矩阵. 定义2　设是数域上的一个阶矩阵.如果存在一个阶矩阵， (单位矩阵)， 那么叫做一个可逆矩阵(或非奇异矩阵)，叫做的逆矩阵. 定义3　设是矩阵的行列式中元素的代数余子式，矩阵 称为的伴随矩阵. 定义4　在处理级数较高的矩阵时常用的方法， 中，,表示2级单位矩阵，而 定理2.1.1　设，都是同阶可逆矩阵，则和都是可逆矩阵，且，. 证明　因为，都是可逆矩阵，所以存在，，使得 ，. 由即知是可逆矩阵，且即为的逆矩阵，即. 由于 ， 故也是可逆矩阵，且为的逆矩阵，即. 用数学归纳法容易证明，个同阶可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵，且. 定理2.1.2　设为阶可逆矩阵，、及中有一个矩阵的每一行(列)的所有元素之和均为同一常数，)的所有元素之和也均为同一常数. 证明　不妨设矩阵的每一行的所有元素之和均为常数，下证及的每一行所有元素之和也均为同一常数.记，则.于是是的一个特征值，又由于是可逆矩阵，所以.在式两边左乘得，，即，亦即的每一行所有元素之和均为常数.在式两边左乘得，，亦即的每一行所有元素之和均为常数. 类似可证另外两种情形. 注:当阶方阵不可逆时，也有类似共性.下面给出结论1和结论2作为定理1的补充. 结论1　设为阶方阵，及中有一个矩阵的每一行(列)的所有元素之和均为同一非零常数，(列)的所有元素之和也均为同一非零常数. 类似定理1的证明，1成立. 结论2　设为阶方阵，的每一行(列)的所有元素之和均为同一常数，的每一行(列)的所有元素之和也均为同一常数. 证明　不妨设方阵的每一行的所有元素之和均为常数. (1)当时，1知结论2成立. (2)当时，，则，即是的一个特征值，不可逆.如果的秩，的定义知，，的每一行所有元素之和均为常数.如果的秩，由于，所以齐次方程组的全部解是 (其中为任意常数).又因为，所以的每个列向量都是的解.从而有，所以的每一行所有元素之和均为同一常数. 值得注意的是，的每一行(列)的所有元素之和均为常数时，的每一行(列)的所有元素之和也均为同一常数.例如，，有.显然的每一行的所有元素之和均为常数，的每一行的所有元素之和并不是同一常数. 2.2　可逆矩阵的刻画 定理2.2.1　阶矩阵为可逆的充要条件是是非奇异矩阵.且 其中是中元素的代数余子式.矩阵称为矩阵的伴随矩阵，，. 引理1　设对阶方阵施行一次初等变换后得到矩阵，那么是可逆矩阵当且仅当是可逆矩阵. 证明　我们只就行初等变换来证明这个引理，列初等变换的情形可以完全类似地证明. 设是通过施行一次行初等变换而得到的，那么存在一个对应的初等矩阵，使得 . 由于初等矩阵是可逆的，上式说明，当是可逆矩阵时，是两个可逆矩阵的乘积，由定理2.1.1即