分块矩阵的基本性质及其应用毕业论文.doc

分块矩阵的基本性质及其应用毕业论文 目录 摘要 I Abstract II 第一章 前言 1 第二章：分块矩阵 1 2.1.分块矩阵的定义 1 2.2分块矩阵的运算法则 1 2.2.1分块矩阵的加法 1 2.2.2分块矩阵的乘法 1 2.2.3分块矩阵的初等变换 2 第三章：分块矩阵的应用 3 3.1分块矩阵在求矩阵的逆中的应用 3 3.2分块矩阵在行列式计算中的应用 5 3.3分块矩阵在解非齐次线性方程组中的应用 7 3.4分块矩阵在计算矩阵的秩中的应用 9 致谢 11 参考文献 12  第一章 前言 在高等代数中，矩阵是一项很重要的内容。也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。而我们在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，这样可以使问题的解决更简明。 分块矩阵作为处理矩阵的一种重要的方法，在学习矩阵的分块之后，我们不仅仅只会矩阵的分块，还要学会更深层的问题，要学会观察，联想，猜想。学会用 矩阵的分块去解决在高等代数中遇到的问题，比如说用矩阵的分块去求高阶行列式，求一个矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值等一些问题。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓学生的思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。 下面主要介绍了分块矩阵的几个基本性质，分块矩阵的初等变换，还有就是分块矩阵在高等代数中的几个应用。 第二章：分块矩阵 2.1.分块矩阵的定义 将一个矩阵用若干的横线和竖线分成若干个较小的矩阵: 其中每一个小矩阵叫做矩阵的子块,以子块为元素的矩阵就称之为分块矩阵. 对矩阵分块可以使矩阵的结构更加清楚,使矩阵运算变得比较容易。 2.2分块矩阵的运算法则 通过矩阵的运算，我们可以知道，矩阵的加法就是矩阵的对应元素相加，分块矩阵的运算也是如此，不同的是，在分块矩阵的运算当中，用子块代替了矩阵中的元素。 2.2.1分块矩阵的加法 在分块矩阵的加法运算中，其运算规则为： 如： 则 ，其中，是具有相同行列的矩阵。 2.2.2分块矩阵的乘法 与矩阵的乘法相似，分块矩阵的乘法需要满足以下两个要求： 左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数。 左矩阵的每个列组所含列数等于右矩阵的相应行组所含行数。 满足上述两个条件，就可以进行分块矩阵的乘法运算。 分块矩阵的乘法运算法则为： ，其中的列数与的行数相同。 其中 2.2.3分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换可以分为以下三种情况： 1、互换两行（列）的位置： 如： 2、某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵P： 如： 3、某一行（列）左乘（右乘）一个矩阵P加到另一行（列）上： 如： 在分块矩阵的初等变换中，左乘一个初等矩阵就相当于它作相应的广义初等行变换，右乘一个初等矩阵就相当于它作相应的广义初等列变换。 第三章：分块矩阵的应用 3.1分块矩阵在求矩阵的逆中的应用 命题1 设是一个四分块方阵，其中为阶方阵, 为阶方阵,当与都是可逆矩阵时，则是可逆矩阵，并且 特例 当，，与都可逆时，有. 当，，与都可逆时，有 当，，与都可逆时，有 证明 设可逆，且，其中为阶方阵，为阶的方阵.则应有 即 ， 于是得到下面的等式 因为可逆，用右乘式可得 代入式得 则 . 用右乘式可得 代入式得 则 可得 +. 所以 . 例1：已知矩阵M= ，求. 解：可以将矩阵分成四块M=,其中A=,C=,D=,根据分块矩阵的性质, =,而A,C,D的逆矩阵易求出, =,=,=,而=,所以 =. 已知矩阵M= ，求. 解：可以将矩阵分成四块M=, A=,B=,易求得，=，=，故由例1的推广== 3.2分块矩阵在行列式计算中的应用 证明行列式的乘积公式=. 证明：作=，设A，B为nn阵，作=，i,j=1,2, ,n,这里为nn阵，除了第i行第j列元素为外，其他元素皆为零，则由初等矩阵与初等变换的关系，易得右端为=. 又由所对应的初等变换是某行加上另一行的倍数,它不改变行列式的值,故 ===. 但可经n个两列对换变成,故 ===,这就证明了=. 设A,B,C,D,都是n阶矩阵，证明当AC=CA时，有=. 证明：若A可逆，=, 故===. 若