本科毕业论文--幂零矩阵的性质与应用.doc

目 录 摘要 1 Abstract 1 1 引言 2 2 预备知识 2 2.1 概念 2 2.1 引理 3 3 幂零矩阵的性质 4 3.1 幂零矩阵的特性 4 3.2 矩阵是幂零矩阵的几个充分必要条件 6 3.3 幂零矩阵和若尔当块 7 3.4 幂零矩阵的其他性质 8 4 幂零矩阵的应用 12 4.1幂零矩阵在矩阵求逆中的应用 12 4.1.1 可求幂零矩阵与单位矩阵和的矩阵的逆 12 4.1.2 求主对角线上元素完全相同的三角矩阵的逆 13 4.2 幂零矩阵在其他方面的应用 14 结论 16 参考文献 16 致谢 18 幂零矩阵的性质与应用 摘要：在高等数学中，矩阵是研究和解决问题的重要工具,幂零矩阵又是一类特殊的矩阵，在矩阵理论中具有举足轻重的地位，实际应用方面也有重要的意义。幂零矩阵具有很多好的性质，本文将深入挖掘这些性质，并且用不同的方法去分析论证这些性质。同时本文还给出幂零矩阵自身特有的一些性质，讨论了矩阵是幂零矩阵的充分必要条件，并说明其在求矩阵的逆矩阵方面的优越性，并通过例子说明其在实际中的应用。 关键词：幂零矩阵；线性变换；逆矩阵；若尔当标准型；特征值；迹. Properties and Applications of Nilpotent Matrices Abstract: Matrix acts as a key role in studying and solving the questions in advanced mathematics. As special forms of matrix, nilpotent matrices play a key role not only in the theory of matrix but also in practical application. Nilpotent Matrices have many good properties. In the paper, we will find and prove with various methods these properties in profundity. The paper will give some unique properties of nilpotent matrices and discusses the necessary and sufficient condition of nilpotent matrices. Then the paper shows its superiority in solving inverse matrix, and explains its practical application by examples. Key words: Nilpotent matrix; Linear transformation; Inverse matrix; Jordan canonical form; Characteristic; Trace. 1 引言 随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、微分方程、力学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学的领域，矩阵理论也有着十分重要的作用。幂零矩阵在这些领域中也发挥着重要的作用，自20世纪60年代以来，许多学者探讨了一些幂零矩阵的性质，获得了许多重要的研究成果。1964年Give证明了n阶矩阵A是幂零矩阵的充要条件是，近年来幂零矩阵得到了进一步发展。在我们学到矩阵的乘法运算时曾给出了幂零矩阵的定义，但对它的介绍甚少，因此我们将加强这方面的研究与总结。本文将归纳总结幂零矩阵的一些性质，有其自身所特有的特征，它和线性变换、若尔当标准形等方面的联系，还有其性质的具体应用，在后面的应用中我们提到了一些特殊矩阵的求逆，这体现了幂零矩阵的优越性。 邹本强，韩道兰罗雁黄宗文谷国梁胡秀玲张秀福维线性空间 ,必存在的一组基使得由的幂零线性变换生成的幂零代数中任意元素在该基下的矩阵均为严格上三角矩阵。王兆飞在文献[6]中利用幂零线性变换的概念，在一般数域上讨论了幂零线性变换一定存在一组基使其在这组基下的矩阵是若当形矩阵，从而给出幂零矩阵的若当标准形。吴险峰李殿龙隋思涟上 矩阵与幂零矩阵的运算联系，还证得每个奇异方阵可写成一个幂零方阵和两个幂零方阵的积之和。 2 预备知识 2.1 概念 定义1.设为阶方阵，若存在正整数，使，则称为幂零矩阵。 定义2.设为幂零矩阵，满足的最小正整数称为的幂零指数，并称是 次幂零矩阵。显然，阶零矩阵是特