隐函数与参数方程求导法则.PDF

5.3 隐函数与参数方程求导法则 一、隐函数的求导法则 二、参数方程的求导法则 一、隐函数求导法则 y f (x) 形如 = 的函数称为显函数. 例如, y =sin x , y =ln x+ cos x 都是显函数. 2x − 1 2x − 1 F (x , ) = 2x − 3 ⋅ − 1 ≡ 0 3 3 y 1 = a 2 − x 2 ∈B = [0,+∞ ), F (x ,y 1 ) = F (x , a 2 − x 2 ) ≡ 0 y 2 = − a 2 − x 2 ∈B = (−∞, 0], F (x , y 2 ) = F (x ,− a 2 − x 2 ) ≡ 0 xy 2 例如方程e + x y − 1= 0 所决定的隐函数就无法将它化成显函 数y = f (x) 形式。 隐函数的求导法 把方程两边分别对 x 求导数, 然后从所得的新的 方程中把隐函数的导数解出. 5 7 例1 求由方程 y + 2y − x− 3x = 0 确定的隐函数 dy y = y(x) 在 x = 0 处的导数 . dx x = 0 解 方程两边对 x 求导 d 5 7 (y + 2y − x− 3x ) = 0 d x 4 d y d y 6 得 5y + 2 − 1− 21x = 0 d x d x dy 1+ 21x6 ∴ = dx 4 5y + 2 dy 1 因x = 0 时y = 0 , 故 dx x = 0 = 2 2 2 例2 求椭圆 x + y = 1 在点( 2 , 3 3 ) 处的切线方程. 2 16 9 解 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 ′ + y ⋅ y = 0 8 9 9 x 3 = − ′ ∴ y x=2 = − x=2 3 16 y 3