第四章 方程与不等式(09基础段).doc

第四章：方程与不等式 第一节 一元二次方程 概述：本节的重点是一元二次方程方程组的求解、根与系数关系。 含有未知数的等式称为方程，方程中的未知数称为元。能使方程两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。求方程解或确定方程无解的过程称为解方程。 含有相同未知数的若干个方程就构成一个方程组，方程组中所有方程的公共解，称为方程组的解. 一元一次方程、一元一次方程组及其解 定义 只含有一个未知数、且未知数的最高次数为一次的方程，称为一元一次方程。 经过方程的同解变形，任何一元一次方程都可以化成的形式。由此求得方程的解. 定义 含有两个未知数，且含有未知数的项的次数最高为一次的方程称为二元一次方程.由若干个二元一次方程组成的方程组，称为二元一次方程组. 通常讨论的是由两个二元一次方程组，其一般形式为 二元一次方程组的解有三种情形： = 1 \* GB2 ⑴ 方程组有唯一解  = 2 \* GB2 ⑵ 方程组无解  = 3 \* GB2 ⑶ 方程组有无穷多组解 二元一次方程组可用消元法，将其化为一元一次方程求解。 简单的消元法可分为： = 1 \* GB2 ⑴ 代入消元法 适用于有一个方程较简单的情况  = 2 \* GB2 ⑵ 加减消元法 适用于两个方程都复杂的情况 一元二次方程 定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程，称为一元二次方程，其一般形式为。 1、一元二次方程的求解方法有：  = 1 \* GB2 ⑴ 因式分解法 对方程左边因式分解，方程同解变形为 此法简单，是最常用的解法，但不是所有一元二次方程都能用此法，若它无法实施，便转而考虑下面的方法.  = 2 \* GB2 ⑵ 求根公式法 我们将称为一元二次方程的根的判别式 一元二次方程的解可分为三种情形：  = 1 \* GB3 ① 当时，方程有两个不相等实根，解的表达式为 （此公式称为求根公式）  = 2 \* GB3 ② 当时，方程有两个相等实根，解的表达式为  = 3 \* GB3 ③ 当时，方程无实根。 2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 若是方程的根的充要条件是 注：韦达定理中两个根不要求是实根，只要是根就满足，包括虚根的情况，因此韦达定理适用的范围比求根公式更广，也不能由方程的两根满足韦达定理而断定它含两实根。 1、设二次方程的两根之和为，两根的平方和是，则的值是（ ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 E．2 3、已知p0,q0,则一元二次方程 ﹙ ﹚ A有两个异号实根，并且正实根的绝对值大 B无实根 C有两个异号实根，并且负实根的绝对值大 D两实根互为相反数 E有两个相等的实根 4、已知是方程的两个实数根，则的值为 A．5 B．4 C．0 D．1 E．2 5、设是关于x的方程的两个实根，试求的最小值，并求此时的值. 条件充分性判断 6、有两不相等的实数根 7、方程有两个实数根 （1）a=4994 （2）a=3994 8、的一个根大于1，另一个根小于1 9、 第二节 不等式 用不等号“”或“”连接的数学表达式，称为不等式。不等式有下述性质：  = 1 \* GB2 ⑴ 则.  = 2 \* GB2 ⑵ .  = 3 \* GB2 ⑶ ，则.  = 4 \* GB2 ⑷ ，则. ，则  = 5 \* GB2 ⑸ ，则或  = 6 \* GB2 ⑹ ，则（n为大于1的整数） 定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式，称为一元二次不等式。 一元二次不等式的求解步骤  = 1 \* GB2 ⑴ 变二次项系数为正 利用不等式的性质，可将一元二次不等式化为下面的标准形式： (、0、) （a0）  = 2 \* GB2 ⑵ 若方程能解出两实数根， 则的解为或； 的解为 口诀：大于0，取两边；小于0，取中间。 若方程没有实数根，即， 则的解为；