复旦大学线性代数试卷[精心整理].doc

复旦大学计算机科学技术学院 2010-2011第二学期《线性代数》期终考试试卷 B卷 共 6页 课程代码：COMP120004.02-03 考试形式：闭卷 2011年 9月 （本试卷答卷时间为120分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 专业 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 ｎ阶行列式计算： （共20分，每小题10分） （1） （2）其中。 二、假设A为n阶方阵，是n阶对角阵，其中两两不相等，且，证明:A必为对角阵。 (10分)  设是复数域上三维线性空间的一组基，是的一个线性变换，它在这组基下的矩阵为，即。求：的所有的特征值与特征向量。 (12分) 四、讨论参数的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。 （18分） 五、设分别为实数域上m阶、n阶方阵，试证明： 如果都相似于对角矩阵，则也相似于一个对角矩阵。 设相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵，使得 。 对进行分块，令，其中是阶矩阵，是阶矩阵。试证明：的每一列都是的特征向量，的每一列是的特征向量，并且。 3．相似于一个对角矩阵当且仅当都相似于对角阵。(共20分) 六、设R为实数集，为实数域上全体n维向量的集合。设本题中的向量均在中。证明（共20分）：（1）设向量组可以由向量组线性表示，且，则向量组 是线性相关的。 （10分）（2）设向量组可由向量组线性表示，即存在实数域上的的矩阵，使得，并设是线性无关向量组，则向量组的秩等于矩阵A的秩。 （10分） 第 6 页 第 1 页 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）