2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-第十一章 第6节几何概型.doc

第6节　几何概型 最新考纲　1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；2.了解几何概型的意义. 知 识 梳 理 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性. 3.几何概型的概率公式 P(A)＝eq \f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）). [常用结论与微点提醒] 1.几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关，而与形状和位置无关. 2.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.(　　) (2)从区间[1，10]内任取一个数，取到1的概率是eq \f(1,10).(　　) (3)概率为0的事件一定是不可能事件.(　　) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　) 解析　如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝eq \f(3,8)，P(B)＝eq \f(2,8)，P(C)＝eq \f(2,6)，P(D)＝eq \f(1,3)，所以P(A)＞P(C)＝P(D)＞P(B). 答案　A 3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　) A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8) C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10) 解析　至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40－15,40)＝eq \f(5,8). 答案　B 4.(2018·莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是(　　) A.eq \f(π,8) B.eq \f(π,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4) 解析　任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴). 故所求概率P＝eq \f(\f(1,4)π×12,1×1)＝eq \f(π,4). 答案　B 5.(2018·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C的方程为x2－y＝0)的点的个数的估计值为(　　) A.5 000 B.6 667 C.7 500 D.7 854 解析　S阴影＝S正方形－eq \i\in(0,1,)x2dx＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)， 所以有eq \f(2,3)＝eq \f(S阴影,S正方形)＝eq \f(n,10 000)，解得n≈6 667. 答案　B 考点一　与长度(角度)有关的几何概型 【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4) (2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝eq \r(3)，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧eq \o(DE,\s\up8(︵))，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________. 解析　(1)如图所示，画出时间轴： 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝eq \f(10＋10,40)＝eq \f(1,2). (2)以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧交AC，AP，AB分别为C′，P′，B′. 依题意，点P′在eq \o(B′D,\s\up8(︵))上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在eq \o(B′C′,\s\up8(︵))上发生”. 又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝eq