2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-第十一章 第6节几何概型.doc
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第6节 几何概型
最新考纲 1.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率;2.了解几何概型的意义.
知 识 梳 理
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.
2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;
(2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性.
3.几何概型的概率公式
P(A)=eq \f(构成事件A的区域长度(面积或体积),试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)).
[常用结论与微点提醒]
1.几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概型中基本事件的个数是有限的,前者概率的计算与基本事件的区域长度(面积或体积)的大小有关,而与形状和位置无关.
2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( )
(2)从区间[1,10]内任取一个数,取到1的概率是eq \f(1,10).( )
(3)概率为0的事件一定是不可能事件.( )
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(必修3P140练习1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( )
解析 如题干选项中图,各种情况的概率都是其面积比,中奖的概率依次为P(A)=eq \f(3,8),P(B)=eq \f(2,8),P(C)=eq \f(2,6),P(D)=eq \f(1,3),所以P(A)>P(C)=P(D)>P(B).
答案 A
3.(2016·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.eq \f(7,10) B.eq \f(5,8) C.eq \f(3,8) D.eq \f(3,10)
解析 至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq \f(40-15,40)=eq \f(5,8).
答案 B
4.(2018·莆田质检)从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长,则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是( )
A.eq \f(π,8) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
解析 任取的两个数记为x,y,所在区域是正方形OABC内部,而符合题意的x,y位于阴影区域内(不包括x,y轴).
故所求概率P=eq \f(\f(1,4)π×12,1×1)=eq \f(π,4).
答案 B
5.(2018·合肥质检)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C的方程为x2-y=0)的点的个数的估计值为( )
A.5 000 B.6 667
C.7 500 D.7 854
解析 S阴影=S正方形-eq \i\in(0,1,)x2dx=1-eq \f(1,3)=eq \f(2,3),
所以有eq \f(2,3)=eq \f(S阴影,S正方形)=eq \f(n,10 000),解得n≈6 667.
答案 B
考点一 与长度(角度)有关的几何概型
【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=eq \r(3),BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧eq \o(DE,\s\up8(︵)),在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为________.
解析 (1)如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上,而当他的到达时间落在线段AC或DB上时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P=eq \f(10+10,40)=eq \f(1,2).
(2)以A为圆心,以AD=1为半径作圆弧交AC,AP,AB分别为C′,P′,B′.
依题意,点P′在eq \o(B′D,\s\up8(︵))上任何位置是等可能的,且射线AP与线段BC有公共点,则事件“点P′在eq \o(B′C′,\s\up8(︵))上发生”.
又在Rt△ABC中,易求∠BAC=∠B′AC′=eq
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