2019版-创新设计-高考理科数学总复习(人教A版)-第十一章 第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理.doc

第1节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新考纲　1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. [常用结论与微点提醒] 1.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行. 2.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步. 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.(　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　) 解析　分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事，所以(1)，(4)均不正确. 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(　　) A.6 B.5 C.3 D.2 解析　5个人中每一个都可主持，所以共有5种选法. 答案　B 3.(选修2－3P28B2改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 解析　需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种). 答案　D 4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种(用数字作答). 解析　每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种). 答案　32 5.(2018·西安月考)已知某公园有5个门，从任一门进，另一门出，则不同的走法的种数为________(用数字作答). 解析　分两步，第一步选一个门进有5种方法，第二步再选一个门出有4种方法，所以共有5×4＝20种走法. 答案　20  考点一　分类加法计数原理的应用 【例1】 (1)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________. (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________. 解析　(1)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1. 若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4； 若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3； 若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2. 由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13. (2)当个位数字为2时，十位数字为1，共1个； 当个位数字为3时，十位数字为1，2，共2个； 当个位数字为4时，十位数字为1，2，3，共3个； …… 当个位数字为9时，十位数字为1，2，3，4，…，7，8，共8个；由分类加法计数原理可知满足条件的两位数的个数为1＋2＋3＋…＋8＝36. 答案　(1)13　(2)36 规律方法　分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准. (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复. (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(1)中易漏a＝0这一类. 【训练1】 (1)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数