2024_2025学年高中数学课时练习27指数型对数型函数模型的应用举例含解析新人教A版必修1.doc

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指数型、对数型函数模型的应用举例

【基础全面练】(20分钟35分)

1．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要缘由，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/mL.假如某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将快速上升到0.8mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度削减，则他至少要经过________小时后才可以驾驶机动车．()

A．1B．2C．3D．4

【解析】选B.设n个小时后才可以驾车，由题得方程0.8(1－50%)n＝0.2，0.5n＝eq\f(1,4)，n＝2，即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车．

2．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到()

A．50只B．100只C．150只D．200只

【解析】选D.由题意知，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100只，所以100＝alog3(2＋1)，所以a＝100,y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.

3．一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为(注：剩留量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期．精确到0.1.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()

A．5.2B．6.6C．7.1D．8.3

【解析】选B.设半衰期为x，则有500(1－10%)x＝250，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(x)＝eq\f(1,2)，取对数得x(lg9－1)＝－lg2，所以x＝eq\f(lg2,1－2lg3)≈eq\f(0.3010,1－2×0.4771)≈6.6.

4．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积与天数t的关系式为：V＝a·e－kt，若新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a；若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为()

A．25B．50C．75D．100

【解析】选C.由题意，得eq\f(4,9)a＝ae－50k，解得e－25k＝eq\f(2,3)；令ae－kt＝eq\f(8,27)a，即e－kt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝(e－25k)3＝e－75k，即需经过的天数为75.

5．现测得(x，y)的两组值为(1，2)，(2，5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．

【解析】对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，

对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．

答案：甲

6．国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lgV.

(1)请依据此关系式将下面视力比照表补充完整；

V

1.5

②

0.4

④

L

①

5.0

③

4.0

(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)

【解析】(1)因为5.0＋lg1.5＝5.0＋lgeq\f(15,10)＝5.0＋lgeq\f(3,2)

＝5.0＋lg3－lg2≈5.0＋0.4771－0.3010

≈5.2，

所以①应填5.2；因为5.0＝5.0＋lgV，所以V＝1，②处应填1.0；因为5.0＋lg0.4＝5.0＋lgeq\f(4,10)＝5.0＋lg4－1＝5.0＋2lg2－1≈5.0＋2×0.3010－1≈4.6，所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lgV，所以lgV＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.

比照表补充完整如表：

V

1.5

1.0

0.4

0.1

L

5.2

5.0

4.6

4.0

(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，

则有4.5＝5.0＋lgV甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.

所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg