2024_2025学年高中数学第三章函数的应用2.2第2课时指数型对数型函数模型的应用举例学案新人教A版必修1.doc

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第2课时指数型、对数型函数模型的应用举例

导思

1.指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？其中待定系数有哪些限制条件？

2．解决实际问题的基本过程是什么？

1.指数函数型模型

(1)表达形式：f(x)＝abx＋c.

(2)条件：a，b，c为常数，a≠0，b0，b≠1.

2．对数函数型模型

(1)表达形式：f(x)＝mlogax＋n.

(2)条件：m，n，a为常数，m≠0，a0，a≠1.

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．(×)

提示：对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区分．

(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．(√)

提示：数据越多，模拟效果越好．

(3)依据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．(√)

提示：依据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型的模拟效果较好．

2．(教材习题改编)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是()

A.y＝2x B．y＝2x－1

C.y＝2x D．y＝2x＋1

【解析】选D.分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后4×2＝23(个)，…，分裂x次后y＝2x＋1(个).

3．有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预料，假如不实行措施，将来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年起先，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)

【解析】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年起先增加的年份的数量，

由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n)，

由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，所以4000＝400×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(n)＝10，

两边取对数可得n(lg3－lg2)＝1，

所以n(0.4771－0.3010)＝1，

解得0.1761n＝1，解得n≈6，

所以从2015＋6＝2024年起先，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．

答案：2024

类型一指数函数模型(数学运算、数学建模)

1．某市2024年城乡居民人均收入比2010年翻了一番，设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.下面给出了依据“到2024年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p的四个关系式中正确的是()

A.(1＋p%)×10＝2B．(1＋p%)10＝2

C.10(1＋p%)＝2 D．1＋10×p%＝2

2．习总书记在党的十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设漂亮中国”．目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩，将严峻影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．十九大后，某行业安排从2024年起先，每年的产能比上一年削减的百分比为x(0＜x＜1).

(1)设n年后(2024年记为第1年)年产能为2017年的a倍，请用a，n表示x.

(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的25%?

参考数据：lg2＝0.301，lg3＝0.477.

【解析】1.选B.设2011年城乡居民人均收入为a，因为城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p%.则a(1＋p%)10＝2a，可得(1＋p%)10＝2.

2．(1)依题意得(1－x)n＝a，

所以1－x＝eq\r(n,a)，即x＝1－eq\r(n,a).

(2)设n年后年产能不超过2017年的25%，

则(1－10%)n≤25%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,4)，

即nlgeq\f(9,10)≤lgeq\f(1,4)，即n(2lg3－1)≤－2lg2，

所以n≥eq\f(2lg2,1－2lg3)，即n≥eq\f(301,23)，

因为13＜