2024_2025学年高中数学第三章指数函数和对数函数4.4.1第1课时对数学案北师大版必修1.doc

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第1课时对数

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念．

(2)底数a的范围是a0且a≠1.

(3)读法：logaN读作以a为底N的对数．

形如ab＝N的式子都能化成logaN＝b的形式吗？

提示：不是．如(－3)3＝－27不能写成log(－3)(－27)＝3.

2．常用对数与自然对数

(其中无理数e≈2.71828)

3．对数的基本性质及对数恒等式

(1)loga1＝0(a＞0，a≠1).

(2)logaa＝1(a0，a≠1).

(3)负数和零没有对数．

(4)alogaN＝N(a0且a≠1).

(1)为什么零和负数无对数？

提示：由对数的定义：ax＝N(a0且a≠1)，则总有N0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的状况．

(2)如何用对数的定义证明alogaN＝N?

提示：因为若ab＝N，则b＝logaN(a＞0且a≠1)，所以由等量代换得alogaN＝N.

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log(－2)4.(×)

提示：因为－20，所以对数式不成立．

(2)使对数log2(－2a＋1)有意义的a的取值范围是(－∞，eq\f(1,2)).(√)

提示：由－2a＋10，得aeq\f(1,2).

2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()

A．e0＝1与ln1＝0

B．8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)与log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)

C．log39＝2与9eq\f(1,2)＝3

D．log77＝1与71＝7

【解析】选C.依据ab＝N?b＝logaN可知，A，B，D均正确，C不正确．

3．(教材习题改编)已知log3eq\f(2x－1,5)＝0，则x＝________．

【解析】因为eq\f(2x－1,5)＝1，所以x＝3.

答案：3

类型一指数式与对数式互化(数学运算、数学抽象)

【典例】将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：

(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)logeq\f(1,2)32＝－5；

(3)lg1000＝3；(4)lnx＝2.

【解析】(1)由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.

(2)由logeq\f(1,2)32＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－5)＝32.

(3)由lg1000＝3，可得103＝1000.

(4)由lnx＝2，可得e2＝x.

指数式与对数式互化方法

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

类型二利用对数式与指数式的关系求值(数学运算)

【典例】(1)求下列各式中x的值．

①logx27＝eq\f(3,2)；②log2x＝－eq\f(1,2)；

③logx25＝2；④log5x2＝2.

(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值．

【思路导引】利用对数的定义，通过指数式与对数式的互化求解．

【解析】(1)①由logx27＝eq\f(3,2)，得xeq\f(3,2)＝27，

所以x＝27eq\f(2,3)＝(33)eq\f(2,3)＝32＝9.

②由log2x＝－eq\f(1,2)，得2－eq\f(1,2)＝x，所以x＝eq\f(\r(2),2).

③由logx25＝2，得x2＝25，

因为x0，且x≠1，所以x＝5.

④由log5x2＝2，得x2＝25，所以x＝±5.

(2)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，

则a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.

利用指数式与对数式互化求变量值的策略

(1)基本思想

在肯定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要留意利用方程思想求解．

(2)基本方法

①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．

②利用幂的运算性质和指数函数的性质求解．

求下列各式的值：

(1)lg1；

(2)log(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))－1；

(3)log327.

【解析】(1)因为100＝1，所以lg1＝0.

(2)因为(2＋eq\r(3))－1＝eq\f(1,2＋\r(3))＝2－eq\r(3)，

所以log(2－eq\r(3))(2＋eq\r(3))－1＝log(2－eq\r(