2017《金榜讲堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件：第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质.ppt

第五节 直线、平面垂直的判定与性质 [主干知识梳理] 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的 直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论 3.直线与平面垂直的性质定理 二、平面与平面垂直 1．平面与平面垂直的判定定理 2.平面与平面垂直的性质定理 [基础自测自评] 1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则 (　　) A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直 D　[A中平面可与α平行或相交，不正确． B中直线可与α垂直或斜交，不正确． C中平面可与直线l平行或相交，不正确．] 3．(2014·陕西检测)若设平面α、平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC， 则图中直角三角形的个数为________． 解析　由线面垂直知，图中直角三角 形为4个． 答案　4 5．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB.则下列命题正确的有________． ①PA⊥AD； ②平面ABC⊥平面PBC； ③直线BC∥平面PAE；④直线PD与 平面ABC所成角为30°. [关键要点点拨] 1．在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即： 2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理． 3．几个常用的结论： (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． [典题导入] 若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________． [听课记录]　显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误． 答案　①③④ [规律方法] 解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选． [跟踪训练] 1．(2014·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α； ②若a∥α，a⊥β，则α⊥β； ③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α； ④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β. 其中正确命题的个数为 (　　) A．1　　　 B．2 C．3 D．4 [典题导入] 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD. [互动探究] 若将本例条件改为“△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点”，试问直线MN与平面PCD是否仍然垂直？ 又∵△PAD为正三角形，且F为PD的中点， ∴AF⊥PD. 又PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD， 即直线MN与平面PCD仍然垂直． (4)利用面面垂直的性质． 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 [典题导入] (2013·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点． 求证：(1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. [听课记录]　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，