2018届高考数学二轮复习 规范滚动训练6 文.doc

专题三～六　规范滚动训练(六) (建议用时45分钟)解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 1．从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40,50)；第二组[50,60)；……；第六组[90,100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数； (2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率． 解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)内的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1， 所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1＝4. (2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”，由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这4名学生分别为a，b，c，d， 成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40＝2(人)，记这2名学生分别为e，f， 则选取2名学生的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种， 事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种， 所以P(A)＝＝. 2．如图，在三棱锥P-ABC中，PAC，ABC分别是以A，B为直角顶点的等腰直角三角形，AB＝1. (1)现给出三个条件：PB＝，PB⊥BC，平面PAB平面ABC，试从中任意选取一个作为已知条件，并证明PA平面ABC； (2)在(1)的条件下，求三棱锥P-ABC的体积． 解：法一：选取条件. (1)在等腰直角三角形ABC中，AB＝1， BC＝1，AC＝.又PA＝AC，PA＝. 在PAB中，AB＝1，PA＝，PB＝， AB2＋PA2＝PB2，PAB＝90°， 即PAAB，又PAAC，AB∩AC＝A， PA⊥平面ABC. (2)由(1)可知PA平面ABC. V三棱锥P-ABC＝PA·SABC＝×××12＝. 法二：选取条件. (1)∵PB⊥BC，又ABBC，且PB∩AB＝B， BC⊥平面PAB. 又PA平面PAB，BC⊥PA，又PAAC，BC∩AC＝C， PA⊥平面ABC. (2)由(1)可知PA平面ABC. AB＝BC＝1，ABBC，AC＝PA＝. V三棱锥P-ABC＝×AB×BC×PA＝××1×1×＝. 法三：选取条件. (1)∵平面PAB平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，BC平面ABC，BCAB， BC⊥平面PAB.又PA平面PAB，BC⊥PA，又PAAC，BC∩AC＝C，PA⊥平面ABC. (2)由(1)可知PA平面ABC. AB＝BC＝1，ABBC，AC＝PA＝. V三棱锥P-ABC＝×AB×BC×PA＝××1×1×＝. 3．已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于y轴的正半轴上，圆C与x轴交于A，B两点，|AB|＝4，点B到直线AC的距离为. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线y＝kx－1(kR)与圆C交于M，N两点，·＝－2(O为坐标原点)，求k的值． 解：(1)设圆C：x2＋(y－a)2＝r2(a＞0，r＞0)，圆心C(0，a)，依题意不妨设A(－2,0)，B(2,0)， 所以直线AC的方程为ax－2y＋2a＝0，因为点B到直线AC的距离为， 所以＝，解得a＝±1，因为a＞0，所以a＝1， 所以r＝|AC|＝， 所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 又直线y＝kx－1与圆C交于M，N两点，联立， 消去y得(1＋k2)x2－4kx－1＝0. Δ＝(－4k)2＋4(1＋k2)＝4(5k2＋1)＞0恒成立，即直线与圆恒有两个不同的交点． 由根与系数的关系知x1＋x2＝，x1x2＝， 所以y1y2＝(kx1－1)(kx2－1)＝k2x1x2－k(x1＋x2)＋1＝－＋1＝， 因为·＝－2， 所以x1x2＋y1y2＝＋＝＝－2， 解得k＝±1. 4．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)在x＝－1处的切线方程为ex－y＋e＝0. (1)求实数a，b的值； (2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞0. 解：f(x)＝ f′(x)＝. (1)因为函数f(x)在x＝－1处的切线方程为e