高数下第八章多元函数的基本概念精要.ppt

第一节 多元函数的基本概念 平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限、连续性 * * 例如 例如 多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。 在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个及以上自变量的函数—多元函数，也提出了多元微积分问题。 第八章 多元函数微分法及其应用 1. 邻域 点集 称为点 P0 的?邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 一、平面点集 n维空间 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 。 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . (2) 聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 ) D (3) 开区域及闭区域 ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ??E , 则称 E 为闭集； ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 ? E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作?E ; 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? ? ? ? ? 点集 是开集， 但非区域 . o ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 说明： ? 内点一定是聚点； ? 边界点可能是聚点； (0,0)既是边界点也是聚点． ? 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例 (1,1) 是边界点但不是聚点． 2 n维空间 说明： ? n维空间的记号为 ? n维空间中两点间距离公式 特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离． ? n维空间中邻域、区域等概念 邻域： 内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义． 设两点为 1. 二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 二、多元函数的定义 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 2. 二元函数 的图形 （如右图） 二元函数的图形通常是一张曲面. 三、多元函数的极限 利用点函数的形式有 （1）定义中 的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。——这是产生本质差异的根本原因。 （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、 等价无穷小代换等。 说明： 证 当 时， 原结论成立． 例2 用定义证明 例3 求极限 解 其中 例4 证明 不存在． 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在． 证明极限不存在的方法： 四、多元函数的连续性 解 取 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 例5 讨论函数 在(0,0)的连续性． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函