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高三数学 不等式的性质、不等式证明 知识精讲 通用版 【本讲主要内容】 不等式的性质、不等式证明 【知识掌握】 【知识点精析】 实数集与数轴间一一对应关系，数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别（右边的点对应的实数较大），任取两实数a、b，a＞b，a＝ba＜b三者中有且只有一式成立：a＞ba－b＞0，a＝bab＝0，a＜ba－b＜0。 在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础，要熟练掌握。 对不等式的证明，从思想方法上，有如下四种： 1. 比较法，这是直接利用不等式的意义：A＞BA－B＞0等等，有时为方便计，也使用其变种：A＞B等等。 2. 分析法，从结论的需要出发，看条件是否能提供，如原来证明AB，我们就由BCD…A，也有称之为“执果索因”的，只是书写时必须要注意，切不可写为：∵B ∴C ∴D …，∴A由已知，命题成立，因为这样实际上是证明了逆命题，与原命题正确与否不相干。 3. 综合法，也有称为“执因索果”的，是由已知条件或定理出发，逐次推出结论成立。 4. 反证法，当正面证明不易奏效时，不妨考虑反证法，特别地，有“存在”、“至少”等词语的问题中，往往收到奇效。 其它还有判别式法，放缩法，函数法，换元法，有时也采用数学归纳法等。 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、条件的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。 在诸多方法中，最基本的方法是比较法，它的一般步骤是：作差（）（）。 （1）≥2ab（a，bR） （2） （3）2（ab0） （4） （5）a，bR，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| 【解题方法指导】 例1. 设a＞0，b＞0，求证：（）（）≥a+b。 。 －（＋） ＝ ＝＝≥0。 。 0，右边＞0， ＝＝≥＝1。 。 。。。0进行大小比较；而作商通常对两个式子的值的符号有要求，作商后的式子与1进行大小比较。 2. a1、b1、a2、b2 ∈R，求证：（a12+a22）（ b12+b22）（a1b1+a2b2）2。n＝2 证法一（） 左－右＝（a12b12+a22b22+a12+b22+a22+b12）（a12b12+a22b22+2a1b1a2b2）＝a12b222a1b2a2b1+a22b12＝（a1b2a2b1）20。 。 （）（a1x+b1）2+（a2x+b2）20恒成立。（a12+a22）x2+2 （a1b1+a2b2）x +（b12+b22）0恒成立。 a12+a22＞0，则△＝4（a1b1+a2b2）24（a12+a22）（b12+b22）0 ∴（a12+a22）（b12+b22）（a1b1+a2b2）2。 a12+a22＝0a1＝a2＝00，也成立。 分析法：左＝a12b12+a22b22+a12b22+a22b12＝a12b12+a22b22+2a1a2b1b2a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，即可 综合法：∵a12b22+a22b12≥2a1a2b1b2，两边同加a12b12+a22b22。 a＝（ a1，a2）b＝（ b1， b2）（a）2（b）2（ab）2。 A（a1，a2）B（b1，b2），则 OA+OB≥AB（+）2≥（）2≥－（a1b1+a2b2） 评讲：这一问题的解决方法说明了不等式证明方法的多样性及灵活性。。3对、4对……，上面的方法还都有效吗？ 例3. 已知ab0， 剖析：不等式的运算形式是比较复杂的，一眼看不出从哪儿下手，这时可以用分析法对不等式变形。 只要证明，只要证 只要证，只要证 只要证，即证，即证成立 ∵ab0此式显然成立，。 。。 ：（）。 9%，文科约7%。 关于不等式证明的内容年年都有，大部分是间接考查不等式的证明，有时也直接考查。 题号 分值 占总分比例 题型 考查内容 2001 20 12 8% 解答题 不等式证明与排列组合二项式定理综合 2002全国 22 14 9.5% 解答题 不等式证明与数列知识综合 2002北京 18 12 8% 解答题 与立几何结合考查不等式证明方法中的比较法 2002北京 19 12 8% 解答题 不等式证明与数列知识综合 2003江苏 22 14 9.5% 解答题 不等式证明与二次函数，数列等知识综合 2003北京 20 14 9.5% 解答题 不等式性质，证明等综合应用 2004江苏 22 14 9.5% 解答题 不等式证明与函数知识综合 2004福建 21 12 8% 解