不等式的性质与不等式证明.ppt

∴A＞B ∵ ∴ ∴ B＞D 综上：C＞A＞B＞D 本题我们采用了赋值法（特殊值法），先行猜想，使问题得以简化、明朗．注意赋值法是解选择题、开放题等常用的方法，它可将复杂问题简单化，是我们常用的数学思想． 例2．设 ，且 ，试比较 与 的大小． 分析： 比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较法”．前者依靠 A－B 与 0 的关系判断 A，B 大小，而后者则靠 （b＞0）与 1 的关系来确定 a，b大小，前者适用于多项式型，后者适合指数型或对数性．此题适合用作商比较，利用同底数幂的运算法则． 解：∵ 当 a＞b＞0 时， ，a－b＞0， 所以 则 ， 当 b＞a＞0时， ，a－b＜0， ∴ ． 综上所述，对于不相等的正数 a、b 都有 ． 则仍有 ， 使用作商比较时，一定要注意a＞0、b＞0，解题的关键在于变形的第二步，得出 ． 注意讨论a＞b，还是b＞a，一般说来，变形越彻底越有利于下一步的判断． 例3．解答下列各题： 1．已知： ，求函数 的最大值． 2．已知： ，且 ，求 的最小值． 3．已知：a、b为实常数，求函数的 最小值． 1．已知： ，求函数 的最大值． 分析： 因为 ，所以首先要调整符号，又因为不是常数，所以对 要重新“配凑”． 解：∵ ∴ ∴ 当且仅当 （不满足 条件） ∴x =1 时，y 有最大值 1． 2．已知： ，且 ，求 的最小值． 分析： 本题的困难在于如何使用条件 ，如果从中解出x或y，再代入x＋y转化为一元函数的最值问题显然是比较复杂的，这时我们可以考虑整体使用条件． 解法一：∵ ∴ 当且仅当 ，且 即 x = 4，y = 12． 故 x = 4，y = 12 时 解法二：由 ，得 （定值）． 又知 x＞1，y＞9， 即 x = 4，y = 12 时， 所以当且仅当 x－1＝y－9＝3 时， 3．已知：a、b为实常数，求函数的 最小值． 分析： 从函数的解析式的特点看，本题可以展开解为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值．但若能注意到（x－a）＋（b－x）为定值，利用变形不等式 即可使本题得解． 解： 当 ，即 时， 从以上三个小题，可知“均值不等式”的使用，注意了“和”“积”的转换，达到了“放缩”目的．解题时要创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立．另外还要注意“和定积最大，积定和最小”． 例4．已知a、b、m、n均为正数，且 ，比较 与 的大小． 比较两个数（式）的大小，注意利用不等式的性质，灵活应用已知条件，本题可采用作差比较法． 分析： 解：∵ ∵ ，且a、b、m、n均正． ∴a＜b，m＜n 即 ． 故上式分子中 ∴分子＜0，分母＞0． 则 即 现在试题中“