微积分复习课件.ppt

求极限方法举例 四、定积分的性质 两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和. 即 二、定积分的定义 定义 定 积 分 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 定 积 分 (2) 在定积分定义中,总是假设ab,如果ba.我们规定 注意： 如果a=b,由上式可得 定 积 分 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 三、定积分的几何意义 定 积 分 几何意义： 定 积 分 说明: 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 性质1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前,即 性质2 定 积 分 * 例1 解 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 例4 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 两个重要极限 小 结 　定义2　设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域内有定义. 　　　　在 x0 处给 x 以增量 ?x (x0 + ?x 仍在上述邻域内)， 函数 y 相应地有增量 ?y = f (x0 + ?x ) - f (x0) ， 二、导数的定义 　　则称此极限值为函数y = f (x)在点 x0 处的导数. 即 此时也称函数 f (x) 在点 x0 处可导. 如果上述极限不存在，则称 f (x) 在 x0 处不可导. 导数的实质：增量比的极限。 函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 ，f (x0)) 处的切线的斜率, 即 tan ? = f ?(x0). y O x y = f (x) ? x0 P 三、导数的几何意义 法线方程为 其中 y0 = f ( x0). y - y0 = f ?( x0)(x - x0) . 由此可知曲线 y = f (x)上点 P0 处的切线方程为 　　例 2　求曲线 y = x2 在点 (1, 1) 处的切线和法线方程. 　　解　从例 1 知 (x2) ?|x=1 = 2 , 即点 (1, 1) 处的切线斜率为 2 ， 所以, 切线方程为 y – 1 = 2(x - 1). 即 y = 2 x - 1. 法线方程为 即 　　定理　如果函数 y = f (x) 在点 x0 处可导, 则 f (x) 在点 x0 处连续，其逆不真. 证 其中 ?y = f (x0 + ?x) - f (x0)， 所以 五、可导与连续的关系 即函数 f (x) 在点 x0 处连续. 但其逆不真，即函数 f ( x ) 在点 x0 处连续， 而函数 f ( x ) 在点 x0 处不一定可导. 常用导数公式 定理 1　设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导， 在 x 处也可导， (1) (u(x) ? v(x))? = u?(x) ? v ?(x); (2) (u(x)v(x))? = u(x)v?(x) + u?(x)v(x); 一、导数的四则运算 且 则它们的和、差、积与商 推论 1　(cu(x))? = cu?(x) (c 为常数). 推论 2 推论 3 二、复合函数的微分法 定理 2　设函数 y = f (u)， u = ? (x) 均可导， 则复合函数 y = f (? (x)) 也可导. 且 或 或 　　推论　设 y = f (u) ， u = ? (v)， v = ? (x) 均可导，则复合函数 y = f [? (? (x))] 也可导， 且 任意常数 积分号 被积函数 被积表式 积分变量 定义5.2 不定积分 5.1.2 不定积分的概念 不定积分 性质1 : 不定积分与求导数或求微分互为逆运算. 5.1.4.1 不定积分的性质 不定积分 性质2: 被积表达式中的非零常数因子,可以移到 积分号前. 不定积分 不定积分 推广: 性质3: 两个函数代数和的不定积分,等于两个 函数积分的代数和. 不定积分 不定积分 基本积分表 Ⅰ 是常数); 不定积分 基本积分表 Ⅰ *