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2019届高考数学(北师大版文)复习配套练习:第十三章 系列4选讲+第二节+第2讲 不等式的证明+Word版含答案.doc

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第2讲 不等式的证明 1.设不等式|2x-1|<1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a,bM,试比较ab+1与a+b的大小. 解 (1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1, 解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}. (2)由(1)和a,bM可知0<a<1,0<b<1, 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故ab+1>a+b. 2.已知a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,求证:++<++. 证明 法一 a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1, ++=++<++=++. ++<++. 法二 +≥2=2; +≥2=2;+≥2=2. 以上三式相加,得++≥ ++. 又a,b,c互不相等,++>++. 法三 a,b,c是不等正数,且abc=1, ++=bc+ca+ab=++>++=++. ++<++. 3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)=|x-3|. (1)若不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集,求实数a的取值范围; (2)若|a|<1,|b|<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由. 解 (1)因为f(x-1)+f(x)=|x-4|+|x-3|≥|x-4+3-x|=1, 不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集, 则1≥a即可, 所以实数a的取值范围是(-∞,1]. (2)>f. 证明:要证>f, 只需证|ab-3|>|b-3a|, 即证(ab-3)2>(b-3a)2, 又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)(b2-9). 因为|a|<1,|b|<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立, 所以原不等式成立. 4.(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数a,b的值; (2)求+的最大值. 解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 则解得 (2)+=+ ≤ =2=4, 当且仅当=,即t=1时等号成立, 故(+)max=4. 5.(2015·全国卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明: (1)若ab>cd,则+>+; (2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明 (1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+. (2)若|a-b|<|c-d|, 则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得+>+. ②若+>+, 则(+)2>(+)2, 即a+b+2>c+d+2. 因为a+b=c+d,所以ab>cd, 于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 6.已知a,b,c均为正实数.求证: (1)(a+b)(ab+c2)≥4abc; (2)若a+b+c=3,则++≤3. 证明 (1)要证(a+b)(ab+c2)≥4abc, 可证a2b+ac2+ab2+bc2-4abc≥0, 需证b(a2+c2-2ac)+a(c2+b2-2bc)≥0, 即证b(a-c)2+a(c-b)2≥0,当且仅当a=b=c时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b)(ab+c2)≥4abc成立. (2)因为a,b,c均为正实数,由不等式的性质知 ·≤=,当且仅当a+1=2时,取等号,·≤=,当且仅当b+1=2时,取等号,·≤=,当且仅当c+1=2时,取等号, 以上三式相加,得(++)≤=6, 所以++≤3,当且仅当a=b=c=1时,取等号.
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