2019届高考数学(北师大版文)复习配套练习:第十三章 系列4选讲+第二节+第2讲 不等式的证明+Word版含答案.doc
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第2讲 不等式的证明
1.设不等式|2x-1|<1的解集为M.
(1)求集合M;
(2)若a,bM,试比较ab+1与a+b的大小.
解 (1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1,
解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}.
(2)由(1)和a,bM可知0<a<1,0<b<1,
所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.
故ab+1>a+b.
2.已知a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,求证:++<++.
证明 法一 a,b,c均为正实数,且互不相等,且abc=1,
++=++<++=++.
++<++.
法二 +≥2=2;
+≥2=2;+≥2=2.
以上三式相加,得++≥ ++.
又a,b,c互不相等,++>++.
法三 a,b,c是不等正数,且abc=1,
++=bc+ca+ab=++>++=++.
++<++.
3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)=|x-3|.
(1)若不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集,求实数a的取值范围;
(2)若|a|<1,|b|<3,且a≠0,判断与f的大小,并说明理由.
解 (1)因为f(x-1)+f(x)=|x-4|+|x-3|≥|x-4+3-x|=1,
不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集,
则1≥a即可,
所以实数a的取值范围是(-∞,1].
(2)>f.
证明:要证>f,
只需证|ab-3|>|b-3a|,
即证(ab-3)2>(b-3a)2,
又(ab-3)2-(b-3a)2=a2b2-9a2-b2+9=(a2-1)(b2-9).
因为|a|<1,|b|<3,所以(ab-3)2>(b-3a)2成立,
所以原不等式成立.
4.(2015·陕西卷)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.
(1)求实数a,b的值;
(2)求+的最大值.
解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,
则解得
(2)+=+
≤
=2=4,
当且仅当=,即t=1时等号成立,
故(+)max=4.
5.(2015·全国卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:
(1)若ab>cd,则+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明 (1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.
(2)若|a-b|<|c-d|,
则(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得+>+.
②若+>+,
则(+)2>(+)2,
即a+b+2>c+d+2.
因为a+b=c+d,所以ab>cd,
于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
6.已知a,b,c均为正实数.求证:
(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;
(2)若a+b+c=3,则++≤3.
证明 (1)要证(a+b)(ab+c2)≥4abc,
可证a2b+ac2+ab2+bc2-4abc≥0,
需证b(a2+c2-2ac)+a(c2+b2-2bc)≥0,
即证b(a-c)2+a(c-b)2≥0,当且仅当a=b=c时,取等号,
由已知,上式显然成立,故不等式(a+b)(ab+c2)≥4abc成立.
(2)因为a,b,c均为正实数,由不等式的性质知
·≤=,当且仅当a+1=2时,取等号,·≤=,当且仅当b+1=2时,取等号,·≤=,当且仅当c+1=2时,取等号,
以上三式相加,得(++)≤=6,
所以++≤3,当且仅当a=b=c=1时,取等号.
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