2019届高考数学大一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 第2讲 不等式的证明练习 理 北师大版.doc
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第2讲 不等式的证明
1设不等式|2x-1|<1的解集为M.
(1)求集合M;
(2)若a试比较ab+1与a+b的大小.
解 (1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1
解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}.
(2)由(1)和a可知0<a<1<b<1
所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0.
故ab+1>a+b.
已知a均为正实数且互不相等且abc=1求证:++<++
证明 法一 ∵a均为正实数且互不相等且abc=1
∴++=++<++=++
∴++<++
法二 ∵+=2;
+=2;+=2
∴以上三式相加得++++
又∵a互不相等++>++
法三 ∵a是不等正数且abc=1
∴++=bc+ca+ab=++>++=++
∴++<++
3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)=|x-3|.
(1)若不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集求实数a的取值范围;
(2)若|a|<1<3且a≠0判断与f的大小并说明理由.
解 (1)因为f(x-1)+f(x)=|x-4|+|x-3|≥-4+3-x|=1
不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集
则1≥a即可
所以实数a的取值范围是(-∞].
(2)>f
证明:要证>f
只需证|ab-3|>|b-3a|
即证(ab-3)>(b-3a)
又(ab-3)-(b-3a)=a-9a-b+9=(a-1)(b-9).
因为|a|<1<3
所以(ab-3)>(b-3a)成立
所以原不等式成立.
(2015·陕西卷)x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.
(1)求实数a的值;
(2)求+的最大值.
解 (1)由|x+a|<b得-b-a<x<b-a
则解得
(2)+=+
=2=4
当且仅当=
即t=1时等号成立
故(+)=4.
(2015·全国Ⅱ卷)设ab,c,d均为正数且a+b=c+d.证明:
(1)若ab>cd则+>+;
(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明 (1)因为(+)=a+b+2
(+)=c+d+,
由题设a+b=c+d>cd得(+)>(+)
因此+>+
(2)①若|a-b|<|c-d|则(a-b)<(c-d)
即(a+b)-4ab<(c+d)-4cd.
因为a+b=c+d所以ab>cd.
由(1)得+>+
②若+>+
则(+)>(+)
即a+b+>c+d+2
因为a+b=c+d所以ab>cd于是
(a-b)=(a+b)-4ab<(c+d)-4cd=(c-d)
因此|a-b|<|c-d|.
综上+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
已知a均为正实数.求证:
(1)(a+b)(ab+c)≥4abc;
(2)若a+b+c=3则++.
证明 (1)要证(a+b)(ab+c)≥4abc,
可a2b+ac+ab+bc-4abc≥0
需证b(a+c-2ac)+a(c+b-2bc)≥0
即证b(a-c)+a(c-b)
当且仅当a=b=c时取等号
由已知上式显然成立
故不等式(a+b)(ab+c)≥4abc成立.
(2)因为a均为正实数由不等式的性质知
≤=当且仅当a+12时取等号·≤=当且仅当b+1=2时取等号·≤=当且仅当c+1=2时取等号
以上三式相加得(++)≤=6
所++,当且仅当a=b=c=1时取等号.
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