2019届高考数学大一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 第2讲 不等式的证明练习 理 北师大版.doc

第2讲　不等式的证明 1设不等式|2x－1|＜1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a试比较ab＋1与a＋b的大小. 解　(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1 解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}. (2)由(1)和a可知0＜a＜1＜b＜1 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0. 故ab＋1＞a＋b. 已知a均为正实数且互不相等且abc＝1求证：＋＋＜＋＋ 证明　法一　∵a均为正实数且互不相等且abc＝1 ∴＋＋＝＋＋＜＋＋＝＋＋ ∴＋＋＜＋＋ 法二　∵＋＝2； ＋＝2；＋＝2 ∴以上三式相加得＋＋＋＋ 又∵a互不相等＋＋＞＋＋ 法三　∵a是不等正数且abc＝1 ∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋＞＋＋＝＋＋ ∴＋＋＜＋＋ 3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)＝|x－3|. (1)若不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集求实数a的取值范围； (2)若|a|＜1＜3且a≠0判断与f的大小并说明理由. 解　(1)因为f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥－4＋3－x|＝1 不等式f(x－1)＋f(x)＜a的解集为空集 则1≥a即可 所以实数a的取值范围是(－∞]. (2)＞f 证明：要证＞f 只需证|ab－3|＞|b－3a| 即证(ab－3)＞(b－3a) 又(ab－3)－(b－3a)＝a－9a－b＋9＝(a－1)(b－9). 因为|a|＜1＜3 所以(ab－3)＞(b－3a)成立 所以原不等式成立. (2015·陕西卷)x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}. (1)求实数a的值； (2)求＋的最大值. 解　(1)由|x＋a|＜b得－b－a＜x＜b－a 则解得 (2)＋＝＋ ＝2＝4 当且仅当＝ 即t＝1时等号成立 故(＋)＝4. (2015·全国Ⅱ卷)设ab，c，d均为正数且a＋b＝c＋d.证明： (1)若ab＞cd则＋＞＋； (2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件. 证明　(1)因为(＋)＝a＋b＋2 (＋)＝c＋d＋， 由题设a＋b＝c＋d＞cd得(＋)＞(＋) 因此＋＞＋ (2)①若|a－b|＜|c－d|则(a－b)＜(c－d) 即(a＋b)－4ab＜(c＋d)－4cd. 因为a＋b＝c＋d所以ab＞cd. 由(1)得＋＞＋ ②若＋＞＋ 则(＋)＞(＋) 即a＋b＋＞c＋d＋2 因为a＋b＝c＋d所以ab＞cd于是 (a－b)＝(a＋b)－4ab＜(c＋d)－4cd＝(c－d) 因此|a－b|＜|c－d|. 综上＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件. 已知a均为正实数.求证： (1)(a＋b)(ab＋c)≥4abc； (2)若a＋b＋c＝3则＋＋. 证明　(1)要证(a＋b)(ab＋c)≥4abc， 可a2b＋ac＋ab＋bc－4abc≥0 需证b(a＋c－2ac)＋a(c＋b－2bc)≥0 即证b(a－c)＋a(c－b) 当且仅当a＝b＝c时取等号 由已知上式显然成立 故不等式(a＋b)(ab＋c)≥4abc成立. (2)因为a均为正实数由不等式的性质知 ≤＝当且仅当a＋12时取等号·≤＝当且仅当b＋1＝2时取等号·≤＝当且仅当c＋1＝2时取等号 以上三式相加得(＋＋)≤＝6 所＋＋，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号. 1