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2019届高考数学大一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 第2讲 不等式的证明练习 理 北师大版.doc

发布:2018-05-13约1.38千字共3页下载文档
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第2讲 不等式的证明 1设不等式|2x-1|<1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a试比较ab+1与a+b的大小. 解 (1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1 解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}. (2)由(1)和a可知0<a<1<b<1 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故ab+1>a+b. 已知a均为正实数且互不相等且abc=1求证:++<++ 证明 法一 ∵a均为正实数且互不相等且abc=1 ∴++=++<++=++ ∴++<++ 法二 ∵+=2; +=2;+=2 ∴以上三式相加得++++ 又∵a互不相等++>++ 法三 ∵a是不等正数且abc=1 ∴++=bc+ca+ab=++>++=++ ∴++<++ 3.(2017·衡阳二联)已知函数f(x)=|x-3|. (1)若不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集求实数a的取值范围; (2)若|a|<1<3且a≠0判断与f的大小并说明理由. 解 (1)因为f(x-1)+f(x)=|x-4|+|x-3|≥-4+3-x|=1 不等式f(x-1)+f(x)<a的解集为空集 则1≥a即可 所以实数a的取值范围是(-∞]. (2)>f 证明:要证>f 只需证|ab-3|>|b-3a| 即证(ab-3)>(b-3a) 又(ab-3)-(b-3a)=a-9a-b+9=(a-1)(b-9). 因为|a|<1<3 所以(ab-3)>(b-3a)成立 所以原不等式成立. (2015·陕西卷)x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数a的值; (2)求+的最大值. 解 (1)由|x+a|<b得-b-a<x<b-a 则解得 (2)+=+ =2=4 当且仅当= 即t=1时等号成立 故(+)=4. (2015·全国Ⅱ卷)设ab,c,d均为正数且a+b=c+d.证明: (1)若ab>cd则+>+; (2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 证明 (1)因为(+)=a+b+2 (+)=c+d+, 由题设a+b=c+d>cd得(+)>(+) 因此+>+ (2)①若|a-b|<|c-d|则(a-b)<(c-d) 即(a+b)-4ab<(c+d)-4cd. 因为a+b=c+d所以ab>cd. 由(1)得+>+ ②若+>+ 则(+)>(+) 即a+b+>c+d+2 因为a+b=c+d所以ab>cd于是 (a-b)=(a+b)-4ab<(c+d)-4cd=(c-d) 因此|a-b|<|c-d|. 综上+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件. 已知a均为正实数.求证: (1)(a+b)(ab+c)≥4abc; (2)若a+b+c=3则++. 证明 (1)要证(a+b)(ab+c)≥4abc, 可a2b+ac+ab+bc-4abc≥0 需证b(a+c-2ac)+a(c+b-2bc)≥0 即证b(a-c)+a(c-b) 当且仅当a=b=c时取等号 由已知上式显然成立 故不等式(a+b)(ab+c)≥4abc成立. (2)因为a均为正实数由不等式的性质知 ≤=当且仅当a+12时取等号·≤=当且仅当b+1=2时取等号·≤=当且仅当c+1=2时取等号 以上三式相加得(++)≤=6 所++,当且仅当a=b=c=1时取等号. 1
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