高中数学2_3_1双曲线及其标准方程.ppt

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． ;双曲线的定义 把平面内与两个定点F1、F2的距离的___________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这_________叫做双曲线的焦点， _______________叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或 “常数为0”时，动点的轨迹是什么？ ;提示　(1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示． ;双曲线的标准方程 ;提示　如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． ;对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a，当2a|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a|F1F2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1、F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上． ;(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F1、F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中a、b大小则不确定． ;(3)焦点F1、F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． (4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax2＋By2＝1(AB0)或进行分类讨论． ;题型一　求双曲线的标准方程 ;规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法． ; 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0，6)，经过点A(－5，6)． 解　(1)由题设知，a＝3，c＝4， 由c2＝a2＋b2得，b2＝c2－a2＝42－32＝7. ;(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． ;(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点M到另一个焦点的距离为6 或22. (2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2| ＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理得 ;规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)． (2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用． ;由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ;题型三　与双曲线有关的轨迹问题;【题后反思】 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；