2024_2025高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线1双曲线及其标准方程2教案新人教A版选修2_1.doc

PAGE

PAGE4

双曲线及其标准方程

教学目标：

（1）理解双曲线的定义，驾驭双曲线标准方程.

（2）通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生视察问题、探究问题、归纳问题的实力.

（3）亲历双曲线及其标准方程的获得过程，体会数学的理性与严谨，感受数学美的熏陶.

教学重点：理解双曲线的定义，驾驭双曲线的标准方程.

教学难点：双曲线标准方程的推导与化简.

教学方法：启发式与探究式相结合.

教学过程与操作设计：

（一）创设情景，引入课题

1、学问回顾

问题1：椭圆的定义是什么？

问题2：若把椭圆定义中的“与两定点的距离之和”改为“距离之差”，这时轨迹又是什么呢？

也就是：平面内与两定点、距离的差等于一个非零常数的点的轨迹是什么图形？

【设计意图】

通过一个学问冲突的教学情景，由和到差，不仅加强新旧学问的联系，而且通过学生类比和与差，促进学生思索，激发他们的求知欲望．

2、视察动画、动手作图

取诞生活中常见的一条拉链，随着拉链的拉开闭合，通过视察，引导学生思索拉链拉开的两部分长度的内在联系．通过播放这个拉链的演示试验，让学生视察动画，了解双曲线的画法，再由学生画另一支曲线．最终老师给出这两条曲线合起来叫双曲线，其中每一条叫双曲线的一支，顺当引入课题．

【设计意图】

通过视察动画和动手作图，使学生从空洞的数学分析转化为感受图形的实际改变．这一环节使学生体会双曲线定义的获得过程，培育了学生视察、归纳实力．

（二）探究发觉，挖掘新知

1、定义的归纳

（1）提出问题1：这条曲线上的点满意的条件?同样使学生找到另一条曲线上的点满意的条件．

提出问题2：用一个数学式子表达这两条曲线上的点满意的条件．

依据探讨总结出：1、（1）|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a

(2)|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

2、||MF1|-|MF2||=2a2a是定值,2a|F1F2|.

通过以上分析，由学生归纳双曲线定义．

【设计意图】

通过自主探究，体会双曲线任一点所满意的条件，提高学生分析问题、归纳问题的实力．

（2）通过椭圆和双曲线的定义的学习,知道它们是满意肯定条件的点的轨迹,让学生发觉两个定义的区分.老师总结学习定义的作用,可以用来推断曲线的形态．

【设计意图】

通过师生、生生的沟通合作，使学生理解双曲线定义．学会利用定义推断曲线形态．

2、标准方程的推导

（1）学习了双曲线定义后给出两组图片,一组是学生熟识的热电厂冷却塔和广州新电视塔,它们的外形与轴截面的交线是双曲线.另一组是飞机导航的双曲线定位法和创建的双曲线型交通结构.

【设计意图】

这些图片使学生感受到数学美，体会数学的好用性，对双曲线进一步形成清楚的感性认知，为推导双曲线标准方程的理性认知打下基础．

（2）了解了双曲线的定义后，我们下面来探讨一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家类比椭圆方程的推导过程,说出双曲线标准方程推导步骤是什么（请学生回答老师赐予点评）

【设计意图】

进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题．由于学生没有学习一般曲线的轨迹推导步骤,所以不用上升的理论太高,只需让学生类比椭圆即可.

【问题解决】

①建系以所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴,建立直角坐标系.

②设点设双曲线上随意一点,双曲线的焦距为(),,,常数

③列式即

④化简得

两边同除以得

令()代人得

其中

这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上.

探讨：以上是焦点在轴上的状况，对于焦点在轴上的情形是什么样的呢？

【设计意图】

在第四步化简过程中，由于学生已经学习过椭圆标准方程的化简，学生依据两方程形式的相像性，学生很简单运用同样的方法化简.因此，将本式子的化简作为一个探讨性题目，交由各小组探讨，在课堂上展示本题后，通过老师巡察，请化简较好的小组派代表在黑板上书写，顺当突破难点．

此环节使学生经验双曲线标准方程的获得过程，体验数形结合思想在解决几何问题的优越性，形成锲而不舍的钻研精神和科学的看法．

3、方程的对比

推导出双曲线的两种标准方程后，让学生通过找出他们的相同点、不同点，自己探究出依据标准方程推断焦点位置的方法，同时回忆椭圆中的推断方法，起到复习对比作用．

(三)题组训练、应用新知

练习1、推断下列方程哪些表示双曲线？

（1）（2）

（3）（4）

练习2、方程