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线 性 代 数 复 习 课 一、内 容 提 要 二、典 型 例 题 一、内 容 提 要 行列式的性质 性质2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质4 对换两行, 行列式值反号. 性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去, 行列式的值不变. 性质5 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零. 设 A, B 为 n 阶矩阵, 则有 | AB | = | A |  | B | . 一、内 容 提 要 Laplace [按行列展开]定理 行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即 设 A = (aij)为 n 阶方阵, 则有 一、内 容 提 要 伴随阵 设 A 为 n 阶方阵, Aij 为(i, j)元的代数余子式, 记 称 A 为方阵 A 的[转置]伴随阵. 伴随阵的性质 设 A 为 n 阶方阵 A 的伴随阵, 则有 如果 | A |  0, 那么, 称方阵 A 为非奇异矩阵. 逆阵计算公式 非奇异矩阵 A 的逆阵为 逆矩阵 如果存在矩阵 B, 使 AB = BA = E 那么, 称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵. 定理 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB = E, 则 A, B 可逆, 且有 一、内 容 提 要 逆矩阵的性质 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有 一、内 容 提 要 分块对角阵的性质 (3) A 可逆的充分必要条件是 Ai(i=1,…,s)都可逆, 且有 一、内 容 提 要 设 Ai(i=1,…,s)都是方阵, 设 A, B 都是方阵, 则有 矩阵 A 与 B 行等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 P, 使 B = PA. 矩阵 A 与 B 列等价的充要条件是: 存在可逆矩阵 Q, 使 B = AQ. 具体地有 一、内 容 提 要 等价矩阵 如果矩阵 A 经过有限次初等(行, 列)变换, 化为矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B (行, 列)等价, 记为 A～B. 行最简形矩阵 行阶梯形矩阵 一、内 容 提 要 矩阵的秩 一、内 容 提 要 如果矩阵 A 的等价标准形为 那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A). 性质1 等价矩阵有相等的秩. 性质2 性质4 行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数. 性质5 矩阵的秩 一、内 容 提 要 如果矩阵 A 的等价标准形为 那么称 F 中单位阵的阶数 r 为矩阵 A 的秩, 记为 R(A). 性质7 性质8 性质9 性质6 逆矩阵的初等变换求法 矩阵初等变换的应用 线性方程组的最简形解法 将线性方程组的增广矩阵化为行最简形, 写出同解 方程组, 解便一目了然. 矩阵方程 AX = B, XA = B 的初等变换解法 一、内 容 提 要 (1) 当 R(A, b)R(A) 时, 方程组无解; (2) 当 R(A, b)=R(A) = n 时, 方程组有唯一解; (3) 当 R(A, b)=R(A) n 时, 方程组有无穷多解. 设 n 元线性方程组 Ax = b. n 元方程组 Ax = 0 有非零解的充要条件是 R(A)  n. AX = B 有解的充要条件是 R(A) = R(A, B). 线性方程组的可解性定理 当 A为方阵时, Ax = 0 有非零解的充要条件是 | A| = 0. 一、内 容 提 要 齐次通解结构定理 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系为 x1,…, xn-r , 其中 r = R( A), 则 Ax = 0 的通解为 (k1,…, kn-r 为任意数) 非齐次通解结构定理 (k1,…, kn-r 为任意数) 设 x = h 是 n 元非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解 (称特解), x1,…, xn-r 是导出组 Ax = 0 的一个基础解系, 则 Ax = b 的通解为 一、内 容 提 要 一、内 容 提 要 线性组合 如果存在一组数 使 称向量 b 可由向量组 并 线性表示. 则线性方程组 Ax = b 等价于 线性