福州大学数理与概率统计第五章.ppt

用切比雪夫不等式的估计比较粗略，而用中心极限定理则能得到更为精确的估计。 这一讲我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实. * * 5.1 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 …… 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理. 定理一（切比雪夫大数定律的特殊情况） 设X1,X2, …是独立的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…, 则对任给 0, 切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则 与其数学期望 偏差很小的 概率接近于1. 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 设nA是n次独立试验中事件A发生的 次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任给的ε 0,有 ?贝努利大数定律 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 任给ε0， 设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限数学期望：E(Xi) =μ，i=1,2, …，则对任意的ε0，有 ?辛钦大数定律 这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用. 平均结果的稳定性 5.2 中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差， 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响. 如瞄准时的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？ 设 X1,X2, …,Xn, …独立同分布，具有有限数学期望和方差：E(Xi) =μ,D(Xi) =σ2，i=1,2, …，则有 ?独立同分布中心极限定理(列维一林德伯格) 例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 由题给条件知，诸Xi独立， 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100, D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y1920) 由题给条件知,诸Xi独立, 16只元件的寿命的总和为 解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 E(Xi)=100,D(Xi)=10000 依题意，所求为P(Y1920) 由于E(Y)=1600, D(Y)=160000 由中心极限定理, 近似N(0,1) P(Y1920)=1-P(Y?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 例1. 作加法时，对每个加数四舍五入取 整，各个加数的取整误差可以认为 是相互独立的，都服从( -0.5 , 0.5 )上 均匀分布。现在有1200个数相加， 问：取整误差总和的绝对值超过12的 概率是多少？ 设随机变