7.1参数的点估计.ppt

解得， 易验证， 是lnL(p)的最大点，因此，p的极 大似然估计值为 取对数得， 对 p 求导，并令其等于零，得 时有时较繁琐. 一解时，我们就简单地把这组解作为参数的极 似然方程组或（似然对数方程组）的解, 只是似然函数的驻点，还不一定是最大点，即 还不一定是极大似然估计值，需要验证，验证 当似然方程组或（似然对数方程组）有唯 大似然估计值，而不再验证。 说明 解 例2 这一估计量与矩估计量是相同的. 令 解 似然函数为 例3 令 即 与相应的矩 估计量相同 思考：如?已知，方差的极大似然估计为？ 例4 设 X ～U[a, b]，求 a, b 的极大似然估计. 解 X的概率密度为 似然函数为 似然函数在其不为零处不存在驻点，不能通过解似然方程组得到参数的极大似然估计． 记 似然函数为 a,b的极大似然估计值分别为 a,b的极大似然估计量分别为 与相应的矩 估计量不同 解：似然函数为 例5 设 X1, X2,…,Xn 是抽自总体 X 的一个样本，X 有如下概率密度函数 其中θ 0为未知常数，求θ 的极大似然估计。 求导并令其导数等于零，得 解上述方程，得 当 时， 例6 设总体X的分布律为 1 2 3 X p 其中? (0 ? 1)为未知参数.利用样本值1，2，1， 求? 的矩估计值和极大似然估计值. 解: （1）先求矩估计 所以? 的矩估计值为 （2）求极大似然估计 似然函数为 令 练习:总体X～B(m,p), p未知， 是样本, 求参数p的矩估计量与极大似然估计量. 解（1）矩估计量 （2）极大似然估计 X的分布律为 设 是样本值， 似然函数为 令 p的极大似然估计量为 求指数分布中参数的矩估计与极大似然估计. 第七章: 参数估计 统计推断的基本问题可以分为两类，一类是估计问题，另一类是假设检验问题，本章讨论总体参数的点估计和区间估计。 7.1 参数的点估计 参数估计就是从样本出发，去构造一个统计量，作为总体中未知参数的一个估计量。 设总体X的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数未知，借助于总体X的一个样本来估计总体中未知参数值的问题称为参数的点估计问题。 引例 解 用样本均值来估计总体的均值 E(X). 点估计问题的一般提法 矩估计是基于“替换”思想建立起来的一种参数估计方法 。最早由英国统计学家 K. 皮尔逊 提出。 7.1.1 矩估计 其思想是: 用同阶、同类的样本矩来估计总体矩。 在引例中，我们以样本均值作为总体均值的估计量，也就是以样本的一阶矩作为总体一阶矩的估计量，这种做法实际上就是矩估计法。 矩估计就是用相应的样本矩去估计总体矩。 总体的k阶原点矩为 样本的k阶原点矩为 总体的k阶中心矩为 样本的k阶中心矩为 设总体 X 的分布函数中含 k 个未知参数： 步骤一：记总体 X 的 m 阶原点矩 E(Xm)为 ?m , m = 1,2,…,k. am(?1,?2,…,?k), m =1, 2, …, k. 一般地, ?m (m = 1, 2, …, K) 是总体分布中参数或参数向量 (?1, ?2, …, ?k) 的函数。 故, ?m (m=1, 2, …, k) 应记成: 步骤二：算出样本的 m 阶原点矩 步骤三：令 （1）式是包含k个未知参数 ?1,?2,…,?k 的联立方程组。 步骤四：解方程组(1), 并记其解为 这种参数估计法称为参数的矩估计法，简称矩法。 这种估计量称为矩估计量。矩估计量的观察值称为矩估计值. 解：先求总体的一阶矩，即期望 例1：设总体 X 的概率密度为 由矩法，令 样本矩 总体矩 解得 为α 的矩估计。 注意：要在参数上边加上“^”， 表示参数的估计。它是统计量。 解: 先求总体的均值和 2 阶原点矩。 例2：设 X1,X2,…Xn 是取自总体 X 的简单样本, X 有概率密度函数 令y=(x-μ )/θ 令y=(x-μ )/θ 用样本矩 估计总体矩 得 列出方程组: 例3：设总体X的均值为?，方差为? 2，求? 和? 2 的矩估计。 解：由 故，均值?,方差?2的矩估计为 求解，得 如：正态总体N(? , ?2) 中? 和?2的矩估计为 又如：若总体 X～ U[a, b]，求a, b的矩估计。 解： 解上述方程组，得到 a,b 的矩估计: (课本P108例7.3) 矩估计的优