参数的点估计.ppt

数理统计 数理统计 第一节 参数的点估计 引言 上一章，我们介绍了总体、样本、简单随机样本、统计量和抽样分布的概念，介绍了统计中常用的四大分布，给出了几个重要的抽样分布定理 . 它们是进一步学习统计推断的基础 .  总体 样本 统计量 描述 作出推断 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质. 随机抽样  现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 参数估计 估计废品率 估计新生儿的体重 估计湖中鱼数 … … 估计降雨量 在参数估计问题 中，假定总体分 布形式已知，未 知的仅仅是一个 或几个参数. 这类问题称为参数估计. 参数估计问题的一般提法 X1,X2,…,Xn 要依据该样本对参数 作出估计, 或估计 的某个已知函数 . 现从该总体抽样，得样本 设有一个统计总体 , 总体的分布函数为 F( x, ) ，其中 为未知参数 ( 可以是向量) . 参数估计 点估计 区间估计 （假定身高服从正态分布 ） 设这5个数是: 1.65 1.67 1.68 1.78 1.69 估计 为1.68， 这是点估计. 这是区间估计. 估计 在区间 [1.57, 1.84] 内， 例如我们要估计某班学生的平均身高. 现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数组成 . 一、点估计概念 随机抽查100个婴儿 , … 得100个体重数据 10,7,6,6.5,5,5.2, … 呢 ? 据此,我们应如何估计 和 而全部信息就由这100个数组成 . 例1 已知某地区新生婴儿的体重 , 未知 为估计 : 我们需要构造出适当的样本的函数 (X1,X2,…Xn) ， 每当有了样本，就代入该函数中算出一个值，用来作为 的估计值 . 把样本值代入 (X1,X2,…Xn) 中， 估计值 . (X1,X2,…Xn) 称为参数 的点估计量， 得到 的一个点 使用什么样的统计量去估计 ？ 可以用样本均值; 也可以用样本中位数; 还可以用别的统计量 . 问题是: 二、寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 …… 这里我们主要介绍前面两种方法 . 1. 矩估计法 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦大数定律 , 若总体 的数学期望 有限, 则有 这表明 , 当样本容量很大时 , 在统计上 , 可以用 用样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法. 定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 这种参数点估计法称为矩估计法 . 理论依据: 大数定律 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 , 那么它的前k阶矩 , 一般 都是这 k 个参数的函数,记为： i=1,2, … ,k 从这 k 个方程中解出 即可得诸 的矩估计量 ： 矩估计量的观察值称为矩估计值 . i=1,2, … ,k i=1,2, … ,k i=1,2, … ,k 解 例1 设总体 X 的均值 和方差 都存在 , 未知 . 是来自 X 的样本 , 试求 的矩估计量 . 于是 的矩估计量为 样本矩 总体矩 m m m 例2 设总体X的概率密度为 其中 是未知参数 , X1 , X2 , … , Xn 是取自 X 的样本, 求参数 的矩估计. 解 解 的矩估计量为 故 例3 设总体 X 在 [ a , b ] 上服从均匀分布 , a , b 未知 . 是来自 X 的样本 , 试求 a , b 的矩估计量 . 解 即 解得 于是 a , b 的矩估计量为 m m m m m m 矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布 . 缺点