第四章 能量方程.ppt

uB=0，pB为最大值，点B称为驻点，此时，液流的动能全部变成压能。 例1：无固体边界约束。图示为一跌水。已知a=4.0米，h=0.5米，V1 =1.0米/秒，求水股2-2断面处的流速V2。 a h V1 1 1 2 2 v2 解：①选取基准面0-0 0 0 ②选计算断面1-1、2-2 ③计算点，即已知数最多的点，该点可代表断面其他点。 总流的能量方程为： 其中：z1 =a+h，z2=0，p1=p2=0 hw1-2=0，取?1=?2=1.0 代入： （米/秒） 例2： ①文丘里流量计： z1 z2 1 1 2 2 d1 d2 hm h p1/? p2/? b Q v 由连续原理，恒定流中 断面平均流速与过水断面面积成反比。 喉道处断面缩小，流速增加，动能增加，而总势能只能减小，其减小值等于测压管水头差h， 令：?1=?2=1.0， 有 即： …………① 测得： ………② 由连续性方程知： 则单位动能增值为： ……③ z1 z2 1 1 2 2 d1 d2 hm h p1/? p2/? b Q v 将②、③代入①得： 则： 其中 为文丘里系数 例3 试证明图中所示的具有底坎的矩形断面渠道中的三种水流是否有可能发生． 证： （a） 以0-0为基准面，列1-1，2-2断面能量方程： 整理得： 假设这种水流可以发生 必须 ＞ 与实际情况矛盾，故这种水流不可以发生。 也可以比较两个断面上的总机械能的变化来判断（总机械能不可能增加）。 （b） 以0-0为基准面，列1-1，2-2断面能量方程： 因为 ＞ 势能沿程减少 又 ＜ 动能沿程增加 * * 一维恒定总流的能量方程 一、恒定元流的能量方程 1.推导过程 u1 u2 2 1 1 2 1 1 2 2 z1 z2 p1 p2 dA1 dA2 取恒定元流上的1-1和2-2两断面间的流段进行分析：经过dt后,该段运动到1-1和2-2 ⑴ 动能定理：运动物体在某一时段内，动能的增量，等于作用在这个物体上全部外力所做的功之和。 dV1-1 =dV2-2 =dV。 则重量=?dV，dm =?dV/g 设1-1段流速为u1，2-2段为u2，则动能的增量为： 2)1?2段上所有外力作功的总和 液体所受的外力有：重力、边界周围的液体压力和液体在流动过程中所受的摩擦阻力。 1)1-1和2-2流段间的动能增量 u1 u2 2 1 1 2 1 1 2 2 z1 z2 p1 p2 dA1 dA2 液体不可压缩， ⑵ a.重力作功 W1= ?dV（z1-z2） 若z1z2则重力作正功；若z1z2则重力作负功。 b.压力作功 断面1-1上的总压力为P1=p1dA1，移动距离为ds1，作正功，为p1dA1ds1 断面2-2上的总压力为P2=p2dA2，移动距离为ds2，作负功，为-p2dA2ds2 压力作功为：W2= p1dA1ds1 -p2dA2ds2 W2= p1dV -p2dV=（p1 -p2）dV dA1ds1=dA2ds2 =dV u1 u2 2 1 1 2 1 1 2 2 z1 z2 p1 p2 dA1 dA2 u1 u2 2 1 1 2 1 1 2 2 z1 z2 p1 p2 dA1 dA2 c.摩擦阻力作功 W3= -?dV hw 摩擦阻力对流体总是作负功，用-hw表示摩擦阻力对单位重量液体所作的功，则： 所有外力作功之和为： ?W=W1+W2+W3 ?W= ?dV(z1-z2)+(p1 -p2)dV -?dV hw ………③ 将②式、③式代入①式，得： 除以 整理得： ………④ 不可压缩液体恒定元流的能量方程，又称伯诺力方程。反映了恒定流中沿流各点的位置高度z、压强p和流速u之间的变化规律。 2.能量方程的物理意义和几何意义 1)物理意义 伯诺力方程中的三项分别表示单位重量液体的三种不同的能量形式： z为单位重量液体的位置势能（位能）。 u2/2g为单位重量液体的动能。 p/?为单位重量液体的压能（压强势能） z+p/ ?=该质点所具有的势能 hw为单位重量的流体从断面1-1流到2-2过程中由于克服流动的阻力作功而消耗的机械能。这部分机械能转化为热能而损失，因此称为水头损失。 单位重量机械能既转化又守恒的关系。 2)几何意义 恒定元流伯诺力方程的各项表示了某种高度，具有长度的量纲： z为元流过水断面上某点的位置高度，称为位置水头，其量纲[z]=[L] p/?：压强水头。p为相对压强时也即测压管高度，其量纲为[p/?]=[MLT-2/L2]/［MLT-2/L3］=[L] z+p/ ?+ u2/2g=总机械能 u2/2g：流速水头。即液体以速度u垂直向上喷射到空气中时所能达到的