第四章 根轨迹方程.doc

第四章 根轨迹法 4-1 根轨迹的基本概念 ? 根轨迹概念： 闭环系统的动态性能与闭环极点在s平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根. 当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s平面上运动的轨迹称为根轨迹. 根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法. Ks(0.5s+1)图4-1 控制系统的结构图图 K s(0.5s+1) 图4-1 控制系统的结构图 图 3-10 标准化二阶系统 C(s) R(s) 例： 设控制系统如图4-1所示 , 开环极点： , ；式中 此系统的特征方程式可写为： 讨论： 令k为0à∞.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标住在S平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹。 分析: 1.变化时,根轨迹均位于左半s平面,系统恒稳定. 2.根轨迹有两条,两个起点 3.时,闭环特征根为负实根,呈过阻尼状态. 4.时,闭环特征根为一对重根,响应为单调上升的指数曲线. 5.时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡. 6.开环增益K可有根轨迹上对应的值求得. 为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹. 二、根轨迹的幅值条件和相角条件 R(s)C( R(s) C(s) G(S) H(S) 图4- 图4-3 控制系统的结构图 图 3-10 标准化二阶系统 设单闭环控制系统框图如图： 通常有两种表示形式： A．时间常数形式： B．零、极点形式： 则，系统特征方程: 1+G(s)H(s)=0 G(s)H(s)= -1 幅值条件: |G(s)H(s)|=1 相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2k+1)π, k=0,1,2,… 考虑开环传递函数一般形式： ,因此 幅值条件: 或 相角条件: =±(2q+1)π, q=0,1,2,… 说明：幅值条件与K0有关，而相角条件与K0无关。因此，凡能满足相角条件的点必然满足幅值条件；而满足幅值条件的点不一定满足相角条件！ 因此，绘制根轨迹的一般步骤是： 先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值。 例子：P107，例4-1。 4-2 绘制根轨迹的基本规则 ? 闭环特征方程： 上式表明了系统闭环极点和开环零、极点的关系。基于这种关系，就可以根据开环零、极点的分布确定闭环极点的位置了。 根轨迹是根据系统的开环零、极点去绘制的。 在下面的讨论中，假定所研究的变化是根轨迹增益值K0，但是当可变参数为系统的其他参数时，这些基本法则仍然适用。这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循 1800+2kπ条件的称为1800 根轨迹；其相角遵循00+2kπ条件的，称为00 根轨迹。 规则1：（对称性法则）根轨迹对称于S平面的实轴。 规则2：根轨迹的分支数、根轨迹的起点和终点： 分支数等于特征方程的阶数，为n条；根轨从n个开环极点出发，其中m条终于开环零点，(n-m)条终点在无穷远处。 , K0=0为根轨迹的起点 s = pi ， K0→∞为根轨迹的终点 s = zj 或s→∞ 规则3：根轨迹在实轴上分布： 实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时, 这些线段就是根轨迹的部分。 规则4：根轨迹的渐进线 n-m条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定： 渐进线的倾角为: 渐进线与实轴的交点为: 例1：设控制系统的开环传递函数为 ,求渐进线和与实轴的交点。 解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j)和(－1－j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。 （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为 取式中的q=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。 渐近线与实轴的交点为 规则5：根轨迹的分离点、会合点、分离角：两条以上根轨迹的交点。 分离点和会合点必须满足方程 ----必要条件 分离角----根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角 分离角= ， r为重根数，q=0,1,2… 例2：已知控制系统的开环传递函数为，确定根轨迹的分离点。 解 ：系统的特征方程式为： 即： 利用,则有 解之可得，分离点d1=0.46 和 d2=－2.22。 规则6：根轨迹的出射角和入射角： 出射角:从复数极点出发的角度。 入射角:到达复数零点的角度。 P116， 图4-13:取靠近的点,由相角条件: 时，则：