04第四章根轨迹1.ppt

第四章 根轨迹 * 4.1 引言 控制系统的基本性能（稳定性、动态性能）主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点）。因此，确定闭环极点的位置，对于分析和设计系统具有重要意义。为了避免直接求解高阶系统特征方程根的麻烦，1948年W.R.Evans提出了一种图解法－－根轨迹法。 根轨迹法是用于分析和设计线性定常控制系统的一种工程方法。具有简便、直观及物理概念明确等特点，因此在工程实践中获得广泛应用。 本章重点研究问题 根轨迹法的概念、绘制根轨迹的规则、非最小相位系统的根轨迹、广义根轨迹、增加开环极零点对根轨迹的影响、用根轨迹分析系统性能。 考虑某一参数变化后，闭环极点运动规律（轨迹），了解闭环系统动态性能的变化。 利用系统的开环传递函数的零极点分布来研究闭环系统的极点的分布。 G(s) H(s) + - 闭环传递函数分母为零 称闭环系统特征方程式 4.2 根轨迹法的概念 1 定义：当系统中某一参数(一般以开环增益为变化参数)发生变化时，系统闭环特征根在S平面上描绘的曲线称系统的根轨迹。 2 绘制根轨迹的条件： 由 得 幅值条件 相角条件 控制系统开环传递函数 系统的开环增益 : K 时间常数形式 零点极点形式 系统的开环根轨迹增益 : 相角条件 幅值条件 由开环零极点指向轨迹点的向量的方位角。 (1) 当 从 变化时，S平面上系统特征根的变化形成轨迹。每一个 值，按幅值条件对应于根轨迹上的n个点。 (2) 根轨迹 上的点符合相角条件，且 符合相角条件的点一定在根轨迹上。故 相角条件是根轨迹的充要条件。 例 开环极点： 无开环零点 闭环系统特征方程式: 闭环特征根: 1. 2. 3. 4. 验证： 规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数(系统阶数) n 规则1：根轨迹起始于开环极点，终止开环零点： 利用根轨迹的性质（规则），可以绘制根轨迹的大致图形（草图），基本能满足工程需求。 4.3 绘制根轨迹的规则 规则3: 根轨迹的对称性：关于实轴对称。 规则4: 实轴上的根轨迹：凡右边具有奇数个零极点 的线段是根轨迹。 jω σ × × × × 规则5：根轨迹的渐近线：共有（n－m）条渐近线 与实轴交点 与实轴夹角 规则6：根轨迹的分离点、会合点和分离角：分离点在两极点之间，会合点在两零点之间。闭环特征方程有重根。 解出 S 值，取 时的重根点。 闭环特征方程式： 分离角： 根轨迹进入并立即分离 规则7: 根轨迹与虚轴的交点：由s = j? 代入闭环特征方程可得，f(j? ) = 0，由方程可得交点的?值。 例 设单位负反馈控制系统开环传递函数： 试绘制控制系统根轨迹图。 解： 规则1：根轨迹起始于开环极点0，－2，－4， 终止开环零点?， ?， ? 规则2：根轨迹的分支数等于特征根个数 n＝3 规则3: 根轨迹的对称性：关于实轴对称。 规则4: 实轴上的根轨迹线段是【－2，0】，（?，－4】。 规则6：根轨迹的分离点： 舍去 实轴交点 与实轴夹角 规则5：根轨迹的渐近线：共有3－0＝3条渐近线 规则7：与虚轴交点： 代入实部， 实部 虚部 劳斯表： S3 1 8 S2 6 S1 0 S0 0 时，S1行全为0 辅助方程：6S2＋48＝0 规则8：出射角和入射角：出射角对复极点,入射角对复零点。出射角和入射角都满足相角条件。 出射角(入射角)：根轨迹在出射点(入射点)的切线与实轴正方向的夹角。 设出射角为 ，入射角为 在-p1点上 一般式： 在-z1点上 一般 出射角 入射角 例4.3 取 出射角 （量角或计算） 规则9：特征根的和与积 设闭环系统开环传递函数 根轨迹趋势 闭环系统特征方程式: *