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第四章 轨迹 (P593) 轨迹定义:若 举例.平面上到两定点A、B等距离的点的轨迹是线段AB的中垂线. 一.轨迹定义: 点集N(图形) 点集M 条件 (互相包含) 则这个图形就叫做符合条件的点的轨迹. (2)图形上的点都合条件 (1)合条件的点都在图形上 两个基本要素 (完备性) (纯粹性) 二.轨迹证明: 如果不证完备性,就可能漏掉某些合条件的点,得到“残缺的轨迹”. 共四种:证(1)(2)或(3)(4)或(1)(4)或(2)(3)成立. 如果不证纯粹性,就难免混入一些不合条件的点,得到“有暇的轨迹”. 如:P597,例3 如:P597,例4 证明方法: 或证逆否命题: (1)完备性:证任一合条件的点都在图形上; (2)纯粹性:证对于图形上的任一点都符合条件. (3)完备性:不在图形上的任一点它不符合条件; (4)纯粹性:不合条件的任一点证它不在图形上. 三.基本轨迹命题: (1)与两定点等远之点的轨迹,是这两点所连线段的垂直平分线(中垂线). (2)与两相交直线等远之点的轨迹,是二互相垂直的直线,它们平分原直线所夹之角. 与角的两边等远之点的轨迹,是平分此角的射线. (3)与二平行直线等远之点的轨迹,是此二平行线之公垂线段的中垂线. (4)与一定直线之距离为定长之点的轨迹,是一对关于该直线对称的平行线,且其间的距离为定长的二倍. (5)到定点的距离为定长之点轨迹是一圆周,它以定点为圆心,以定长为半径. (6)对定线段所张之视角α(0＜α＜180°)为定角之点的轨迹,是对称于定线段的两个圆弧,其上的圆周角皆为α. 当α=90°时,情况如何? 四.轨迹的类型: 第一类型:条件,形状,大小,位置均有. 第二类型:条件,形状有,大小,位置至少 有一未知. 第三类型:仅有条件. 五.基本概念: 合成轨迹:由以上两个或两个以上图形合成. 临界点:处于端点位置的极限点. 极限点:该点的任何小的区域内都有合条件的点但它自身不合条件. 孤立点:该点的一个区域内部除自身合条件外没有轨迹上的点. 单一轨迹: 线段、射线、直线（直线类） 圆周、圆弧、孤立点（圆类） 六.举例: 例1.已知:定⊙O内有一定点M且M≠O,过M点⊙O任一弦AB的中点P,求证:P点的轨迹是⊙(OM). ┓ ∴P在⊙(OM)上, 若AB⊥MO,则P与M重合,∴P∈⊙(OM) 证明:(1)完备性:设P是任一合条件的点, 若以上两情况均不成立; 故合条件的点都在图形⊙(OM)上. 连OP,则OP⊥AB,即∠OPM=90° 若AB过O点,则P与O重合,∴P∈⊙(OM) 重要轨迹: 1.到两定点距离之比等于常值k(不等于1的正数)的点的轨迹是一个圆周,简称为阿氏圆. (阿波罗尼斯圆) 2.到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹是一圆(或点圆). 3.到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹是垂直于这两点连线的一条直线. 例2.到两定点距离之比等于常值k(不等于1的正数)的点的轨迹是一个圆周,简称为阿氏圆. 探求:设PA∶PB=k 在AB内找一点P1,使AP1∶P1B=k, P关于直线AB的对称点也合条件, 在AB外找一点P2,使AP2∶BP2=k, 故P可能在以P1P2为直径的圆上. 证明:(1)完备性:设P是任一合条件的点, 例2.到两定点距离之比等于常值k(不等于1的正数)的点的轨迹是一个圆周,简称为阿氏圆. (2)纯粹性: 1 2 3 4 例3.到两定点距离的平方和为常量的点的轨迹是一圆(或点圆). 例4.到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹是垂直于这两点连线的一条直线. 原结论成立.