2006级应用数理统计参考答案.doc

2006级硕士研究生《应用数理统计》试题参考答案 （2007年1月12日） 姓名： ，学号： ，成绩： 选择题（每小题3分，共12分） 1. 统计量分布，则统计量的分位点是（ B ） A. B. C. D. 2. 设随机变量,,则（ C ） A. 服从t-分布 B. 服从-分布 C. 和都服从-分布 D. 服从F-分布 3. 某四因素二水平试验，选择正交表，已填好A,B,C三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“杂混”，应安排因子D在第（ B ）列。 A. 5 B. 2 C. 3 D. 6 交互作用表 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1 (7) 4． 设总体X服从两点分布，分布率为，其中x=0或1，p为未知参数，是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（ D ）。 A. B. C. D. 填空题（每小题3分，共12分） 1. 设是来自正态总体的简单样本，则常数c=时统计量服从t-分布，其自由度为 n-m 。 2. 设是来自正态总体的简单样本，其中已知。则在满足的均值的置信度为的置信区 间类中区间长度最短的置信区间为（ ）。 3. 设是来自正态总体的简单样本，其中已知,则的无偏估计,中较优的是（ ）。 4. 在双因素试验的方差分析中，总方差的分解中包含误差平方和，则的自由度为（ ）。 （12分）设来自指数分布的简单样本，（1）试求参数的极大似然估计，它是否是无偏估计？（2）求样本的Fisher信息量；（3）求的一致方差无偏估计；（4）问是否是的有效估计？ 解：(1) 联合密度函数： 得到的极大似然估计 令 所以，是的无偏估计。 (2) 信息量 (3)由于 的值域包含内点，所以是充分统计量 是 的函数并且为的无偏估计，所以为UMVUE。 （4） 方差下界为 因为达到了方差下界，所以是的有效估计。 （6分，A班不作）在多元线性回归中，参数的最小二乘估计为，残差向量为。令，当时，Z服从多元正态分布。试证明和e相互独立。 证明： 所以，和e相互独立。 （6分，A班不作）设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布，正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。某日为了检验切割机工作是否正常，随机抽取15段进行测量，得样本均值，样本方差。在显著性水平下，试问该切割机工作是否正常？（） 解：设检验问题为： 选择枢轴量， 由， 得拒绝域为 代入得 所以不拒绝，即认为该切割机工作正常。 （6分，B班不作）设，为来自X的样本，并设的先验分布为，已知，则可知均值的Bayes估计为 试通过此例说明Bayes估计的特点。 答：Bayes估计有以下特点： 若只有先验信息而无样本时，式中， 则，所以只能用先验分布估计未知参数； 若只有样本信息而不知道先验分布时，式中去除，则，所以用样本的均值可以作为未知的估计； 当两种信息都存在时，Bayes估计是两种信息量的加权平均。可见，Bayes能够较好的综合先验信息和样本信息，使估计的结果更精确。 （6分，B班不作）设是来自正态总体的简单样本，考虑检验问题 在显著水平下，求最优检验（MP）的拒绝域。 解：联合密度函数记为 设检验是水平为的MP检验，则存在使 ，而似然比函数为 令 是的增函数，所以 而在成立时， 所以MP检验的拒绝域为。 （6分）研究小麦品种与施肥的农田试验，考察的因素与水平如下表所示： 因素 水平 A小麦品种 B施肥量 C浇水遍数 D锄草遍数 1 甲 16 1 2 2 乙 12 2 3 据经验需考虑交互作用,选用正交表，数据如下表所示。 列号 试验号 A B C D 实验数据 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 115 2 1 1 1 2 2 2 2 160 3 1 2 2 1 1 2 2 145 4 1 2 2 2 2 1 1 155 5 2 1 2 1 2 1 2 140 6 2 1 2 2 1 2 1 155 7 2 2 1 1 2 2 1 100 8 2 2 1 2 1 1 2 125 试用极差分析确定最优方案（以数据大者为好）。 解：见表格 A B C D 575 570 500 540 5