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《应用数理统计》作业题及参考答案(前三章)
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P26
第一章 数理统计的基本概念
设总体X的分布函数为Fx，密度函数为fx，X，X
1 2
，…，X
n
为X的子样，求
最大顺序统计量X 与最小顺序统计量X 的分布函数与密度函数。
n 1
解：F
n
x PX
i
x PX
1
x，X
2
x，，X
n
x Fx n.
fx F
n n
x nFx
n1fx.
F x PX
1 i
x 1 PX
1
x，X
2
x，，X x.
n
1 PX
1
xPX
2
x PX x
n
1 1 PX
1
x 1 PX
2
x 1 PX x
n
1 1 Fx n
fx F x
1 1
n1 Fx n1fx.
设总体X服从正态分布N12，4，今抽取容量为5的子样X，X
1 2
子样的平均值X大于13的概率为多少？
，…，X
5
，试问：
子样的极小值（最小顺序统计量）小于10的概率为多少？
（ii）i子样的极大值（最大顺序统计量）大于15的概率为多少？
解： X~N12，4，n 5，
（i）
X~N12，.
45
4
45PX 13 1 P
4
5
X 12 13 12 1
13 12
1 1.12 1 0.86860.1314.
4545（ii）令
4
5
4
5
min
minX，X
1
，X，X，X
2 3 4 5
，X
max
max X，X
1
，X，X，X .
2 3 4 5
PX
min
10 1 PX
min
10 1 PX
1
10，X
2
10，，X 10
5
5
1 PX
i
10 1
5
1 PX
i
10 1 1 PX 10 5.
i1 i1
Y X 12~N0，1，
2
PX 10 P
X 12 10 12
2 2
P X 12
2
1 PY 1
1 PY 1 1 1 1 0.8413 0.1587.
PX
（ii）i
min
10 1 1 0.15875
1 0.42150.5785.
PX
max
15 1 PX
max
15 1 PX
1
15，X
2
15，，X
5
15 1
PX 15 1 PX 15 .
5 5
5 5
i1
PX
max
15 1 0.933195 1 0.7077 0.2923.
试证：
n
x a2i
n x x2i
nx a
2对任意实数a成立。并由此证明当a x时，n
x a2i
i1 i1 i1
达到最小。
n x x2
i
i1
nx2 nx2，其中x
i
i1
nx。
n i
i1
证明：（i）n
n
x a2 x
i i
x x a2 n
x x2i
x x x a x a2i
i1 i1 i1
n x x2i
i1
n
2x a x
i
i1
x nx a2
n x x2i
i1
2x a nx nx nx a2
n x x2i
i1
nx a2.
当a x时，n
x a2i
n x x2i
nx x2
n x x2达到最小。
i
i1 i1 i1
（ii）n x x2
x2 2xx x2
n n
x2 2x x
nx2
x2 2xnx nx2
nx2 nx2.
nni i i i i i i
n
n
i1 i1 i1 i1 i1 i1
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设X，X
1 2
，…，X
n
为正态总体X~N ，
2的样本，令d
1nX
n i
i1
，试证
2Ed ，Dd 1
2
22。
n
证明：①X~N ，2，则X
i
~N0，2.
Ed E
EX
nX
n i
i1
21
2
1nEXn i
21i1
21
y2
ye22dy
.
y2
ye22dy
2 e
y2
22d
y2
21i 0 2 0 22
21
2y22
2
y2
22
2
0
2Ed 1n
2
n
i1
②EX 2
i
1n .
22n
2
2
X E2X 2.
i i
DX EX
i i
2 E2X
i
2 2 2 1 2 2.
Dd