G21_4二重积分的变量变换.ppt

第21章 第4节 二重积分的变量变换 一、换元法— 二重积分变量变换公式 证: ( 简化证明 ) 根据定理条件 因此面积元素的关系为 例1. 计算 例2. 计算由 二、利用极坐标计算二重积分 设 例3.将 (3). 例4. 计算 注: 例5. 求球体 例6. 试计算椭球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 1. 交换积分顺序 作业 2. 计算 3. 计算 4. 计算二重积分 附、利用极坐标计算二重积分 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 即 即 对应有 在 内取点 严格的推导： * 寄 语 假舟楫者，非能水也，而绝江河。 假舆马者，非利足也，而致千里； ------旬子 第一节、二重积分概念 第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性 重积分 第21章 本章内容： 第二节、直角坐标系下二重积分的计算 第四节、二重积分的变量替换 第五节、三重积分 第六节、重积分的应用 第七节、第八节、第九节---N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-----略去 一、二重积分的变量变换公式 二、利用极坐标计算二重积分 第21章 本节内容： 主要研究问题：二重积分的计算---换元 定积分换元法 满足 一阶偏导数连续; 雅可比行列式 (3) 变换 则 定理21.13 变换: 是一一对应的 , 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形, 其顶点为 通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 则 可知变换 T 可逆. 同理得 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 从而得二重积分的换元公式: 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 所围成的闭域. （P236 例1） 解: 令 则 注:可简化被积函数. 所围成的闭区域 D 的面积 S . (例2) 解: 令 则 注:可简化积分区域. 直角坐标转化为极坐标时, 则 特别, 对 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 化成极坐标下的二重积分。 (4). 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. ( P241例5. ) 利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例4的结果, 得 ① 故①式成立 . 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P240例4 ) 解: 设 由对称性可知 解: 由对称性 令 (广义极坐标变换)则D 的原象: 的体积V. (P241例6. ) (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 则 (2) 一般换元公式 且 则 在变换 下 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 提示: 积分域如图 思考与练习 P242 1 (1), (3); 2 (2), (4); 3 (1), (3); 4 (2); 5 (1); 6 (1); 7; 备用题 1. 计算 其中D 为由圆 及直线 解： 所围成的平面闭区域. 解：先求交点 解： 先画D域（分析D域在第一象限） 其中 D为圆域 解: 利用对称性. 解: 5. 解 6. 7. 计算 积分路径沿着圆周 的正向。 解：应用格林公式 所以由格林公式 8. * * * * *