二重积分-讲义3.pdf
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二重积分换元法的计算
例10.求二重积分
!(+)d=
2
!
其中为由曲线7+7=+围成的区域.
➣极坐标换元:
原式=!CG/H!IJKL2KMNL(cos+sin)⋅
G/H%
1max
θ⼈
y
+。
-
=xx^+-i
x⼦%i%=%P
+y1%占了
.
,
过10.07点
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二重积分-讲义2.pdf
二重积分的计算
例5.求二重积分
1
;9/=d=2
1
其中为7=以及=0,=1围成的区域.
➣选择外积分为:
(=9
原式=!!=
%%
没办法选择外积分为
Ymux=1
⼋→
1
选⼊为外⑥选⼚为外
{
.x)。
i
yminj
1*
…
1
*,=JdyJe
…ax
=Jaxle:
dzii⾃动1企
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微积分下册二重积分-讲义1.pdf
第八章
二重积分及其计算
问题引入
回忆一元函数定积分的定义
)
!=lim)Δ
#→%
!(
➣利用物理模型，假设()为密度函数，则定积分描述一维
空间中理想铁棒的质量.
➣推广到二维情况下，如何求平面内一铁片的质量？
点质量f×,
15
%fxndx唇品签flsn10xi
…
oxi1{
分割分成n份,每份记作Oxi
⑨
1
Si
Cxi上
近似苦分实是够细,
)变化不⼤f(si)
*。则⽤,
来作为0xi的平均密度
≈(si)01
xiMi
f
术和
f
=si)0
xiM1
管(
取极限
M=l到f(si)cxi1
)
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D二重积分的计算.ppt
第二节 一、利用直角坐标计算二重积分 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 二、利用极坐标计算二重积分 设 例6. 计算 注: 例7. 求球体 *三、二重积分换元法 证: 根据定理条件可知变换 T 可逆. 因此面积元素的关系为 例8. 计算 例9. 计算由 例10. 试计算椭球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 思考与练习 2. 交换积分顺序 作业 * *三、二重积分的换元法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重
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广义二重积分.pptx
§9.5广义二重积分即可分为积分区域无限与被积函数无定义3设D是xoy面上旳无界区域,?(x,y)在D上连续且G为?(x,y)在无界区域D上旳二重积分,并类似于一元函数旳广义积分,对于二元函数也有两类广义二重积分.界两种,下面只研究无界区域上旳二重积分旳计算措施.是D上旳任意一种闭区域上.若G以任何方式无限扩展且趋于D时,都有则称此极限值记为1
存在时,则称广义二重积分注1由定义3知:要求广义二重积分,只需仿照一元广收敛;不然,称广义二重积分发散.再求二重极限即可.当极限值义积分,先求二重积分,2
注2利用上面旳成果,可计算概率论中很主要旳普哇松积分解因旳原函数不能用初等函数表达,故用一元广义
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二重积分的应用.docx
§9.3 二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时, 所求量相应地分成许多部分量,且)。2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时, 相应的部分量可近似地表示为 , 其中, 称为所求量的元素, 并记作。(注: 的选择标准为: 是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)3、所求量可表示成积分形式 一、曲面的面积设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。
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高数第8章二重积分.ppt
先对x后对y的积分 法二 例 siny2 对y的积分 方法是: 改写D为: o x y 分析 所以将二次积分先 将所给的积分域 (1) (2) 画出积分域的草图 (3) 计算二次积分 不能用基本积分法算出, 交换积分次序. 用联立不等式表示 o x y * 第八章 二重积分 8.1 二重积分的概念与性质 8.2 二重积分的计算 8.3 二重积分的应用 曲顶柱体体积= 例 曲顶柱体的体积 D 曲顶柱体 以xOy面上的闭区域D为底, D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 侧面是以 顶是曲面 且在D上连续). 8.1 二重积分的概念与性质 1、二重积分的概念 柱体体积 = 分析 曲
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* 第六章 多元函数积分学及其应用 第二节 二重积分的计算法 西安交通大学理学院 魏平 作业：P165（A）3双，5双，6双，7， 8，9,10,12，13双，14双。 * 直角坐标系下面积元素 连续必可积 第二节 二重积分的计算 从二重积分的几何意义可以看出，二重积分 表示一个曲顶柱体的体积 * 如果积分区域为： 一、在直角坐标系下二重积分的计算 ［X－型］ * 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 * 如果积分区域为： ［Y－型］ * X穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相
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二重积分的计算.docx
PAGEii
PAGEi
目录
TOC\o1-3\h\z\u摘要： 1
Abstract： 1
前言： 1
一、一重积分 2
1.1一重积分的定义 2
1.2一重积分的几何意义 2
1.3定积分的性质 2
1.4定积分的计算方法 3
二、二重积分 5
2.1二重积分的概念 5
2.1二重积分的性质 5
2.3二重积分的计算方法 6
2.3.1利用直角坐标系计算二重积分 6
2.3.2二重积分在直角坐标系中的例题 9
2.3.4利用极坐标计算二重积分 10
2.3.5极坐标下的二
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二重积分ck.ppt
* 习题课 二重积分的计算 二重积分的计算方法是累次积分法，化二重积分为累次积分的步骤是： ①作出积分区域的草图 ②选择适当的坐标系 ③选定积分次序，定出积分限 1。关于坐标系的选择 这要从积分区域的形状和被积函数的特点两个方面来考虑 一、主要内容 被积函数呈 常用极坐标 其它以直角坐标为宜 2。关于积分次序的选择 选序原则 ①能积分，②少分片，③计算简 3。关于积分限的确定 二重积分的面积元 为正 确定积分限时一定要保证下限小于
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二重积分.ppt
例7 解 注： 例8 解 例9 解 3. 二重积分的一般变量替换法 假设此变换满足下面三个条件： 例10 解 例11 解 定义7.9 三、无界区域上的反常二重积分 例12 解 一、二重积分的概念和性质 二、 二重积分的计算 三、 无界区域上的反常二重积分 一、二重积分的概念和性质 曲顶柱体的定义 体积 = 平顶柱体的体积公式 底面积×高 基本思想： 分割、近似、求和、取极限. 定义7.8 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 对定义的几点说明： （二重积分的几何意义） D 性质7.5 性质7.6 性质7.7 性质7.8 推论7.1 推论7.2 性质7.9 二、二重积分
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二重积分复习课.pptx
第九章 重 积 分习 题 课主要内容典型例题一、主要内容二重积分定 义几何意义性 质计算法1.二重积分的定义２. 二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．当 为常数时，３. 二重积分的性质性质１性质２若 为D的面积对区域具有可加性性质３性质４性质５若在D上，特殊地性质６性质７（二重积分中值定理）４.二重积分的计算（１）直角坐标系下 ［X－型］ X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.［Y－型］ Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（２）极坐标系下
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二重积分讲解.pptx
二重积分;
一.二重积分旳性质
二.二重积分旳算法
三.二重积分与极坐标
四.二重积分旳应用
;一.二重积分旳性质;4.若在区域D上有;例1：估计二重积分;例2：比较积分;二.二重积分旳算法;D:x1(y)?x?x2(y)
c?y?d;;0;;;1;一先对x积分;二先对y积分;举例阐明怎样互换二次积分旳顺序;例1将互换积分顺序。;画出旳示意图如图。;极坐标系下旳面积元素;怎样利用极坐标计算二重积分;;怎样利用极坐标计算二重积分(1);2.极点位于区域D旳内部;;?;0;此题用直角系算麻烦，
需使用极坐标系！;;四.二重积分旳应用;;;故有曲面面积公式;;;;二、平面薄片旳质心;若物体为占有xo
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(ppt)二重积分.ppt
( 1 )熟练掌握用直角坐标计算二重积 分的方法。 （2）会用极坐标计算二重积分。 一、引例 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理: 三、二重积分的性质 例1. 比较下列积分的大小: 例2. 估计下列积分之值 *8. 设函数 四、曲顶柱体体积的计算 思考与练习 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 4. 证明: 一、利用直角坐标计算二重积分 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 二、利用极坐标
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§2 二重积分的计算;(1);另一方面，;=;[;(2);另一方面，;=;[;=;=;;说明：;例1;另解：;例2;;注意：;例3;;例4;;例5;证毕。;关于对称性的定理;例6;;与;五、作 业
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按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限;预备知识：;二、利用直角坐标计算二重积分;如果积分区域为：;;; 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。;（2）Y-型域：;Y-型域下二重积分的计算：
同理：;;;; 1）积分次序: Y-型域 ,先对x积分后对y积分;;X 型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与
区域边界相交不多于两个交点.;若区域D既是X-型又是Y-型区域，则有积分公式; 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。;1;解：;［Y－型］;;例4;在二重积分的问题中,还有一类问题是将一种二