(ppt)二重积分.ppt

( 1 )熟练掌握用直角坐标计算二重积 分的方法。（2）会用极坐标计算二重积分。 一、引例 2. 平面薄片的质量 二、二重积分的定义及可积性 二重积分存在定理: 三、二重积分的性质 例1. 比较下列积分的大小: 例2. 估计下列积分之值 *8. 设函数 四、曲顶柱体体积的计算 思考与练习 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 4. 证明: 一、利用直角坐标计算二重积分 当被积函数 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例4. 交换下列积分顺序 例5. 计算 二、利用极坐标计算二重积分 设 例6. 计算 注: 例7. 求球体 内容小结 极坐标系情形: 若积分区域为 (3) 计算步骤及注意事项 思考与练习 2. 交换积分顺序 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 显然, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线 ? =常数, 分划区域D 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 特别, 对 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 f ≡1 则可求得D 的面积 思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 答: 问 ? 的变化范围是什么? (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D 为 R2 时, 利用例6的结果, 得 ① 故①式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 : 若积分区域为 则 若积分区域为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 画出积分域 ? 选择坐标系 ? 确定积分序 ? 写出积分限 ? 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 充分利用对称性 应用换元公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * 解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 相应把薄片也分为小区域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变” 中任取一点 3)“近似和” 4)“取极限” 则第 k 小块的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限” 曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动