1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：10逻辑 Word版含答案.doc

PAGE 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 逻辑部分 2014B 3、对于实数的任意子集，我们在上定义函数，如果是实数的两个子集，则，的充分必要条件是 ◆答案：互为补集 ★解析：对于任意的，，这说明中至少有一个是，即，所以，另一方面，中仅有一个是，即，从而互为补集。 2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为 () 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论． ★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为．当 ，，，是，的任意排列时，最小． 证明如下： 1°设当两个电阻，并联时，所得组件阻值为：则．故交换二电阻的位置，不改变值，且当或变小时，也减小，因此不妨取． 2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB： ． 显然越大，越小，所以为使最小必须取为所取三个电阻中阻值最小的一个． 3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为： ． 若记，．则S1、S2为定值．于是． 只有当最小，最大时，最小，故应取，，，即得总电阻的阻值最小． 4°对于图3，把由组成的组件用等效电阻代替．要使最小，由3°必需使；且由1°，应使最小．由2°知要使最小，必需使，且应使最小． 而由3°，要使最小，应使且． 这就说明，要证结论成立 1998*4、设命题关于的不等式与的解集相同；命题。则命题（ ） A.是命题的充分必要条件 B.是命题的充分条件但不是必要条件 C.是命题的必要条件但不是充分条件 D.既不是命题的充分条件也不是命题P的必要条件 ◆答案：D ★解析：若两个不等式的解集都是，否定A、C，若比值为，否定A、B，选D 1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) A.个 B.个 C. 个 D. 个 ◆答案：D ★解析：把身高按从高到矮排为号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D． 1994*2、给出下列两个命题： (1)设都是复数，如果，则； (2)设都是复数，如果，则． 那么下述说法正确的是（ ） A.命题(1)正确，命题(2)也正确 B.命题(1)正确，命题(2)错误 C.命题(1)错误，命题(2)也错误 D.命题(1)错误，命题(2)正确 ◆答案：B ★解析：⑴正确，⑵错误；理由：⑴，成立时，与都是实数，故此时成立； ⑵ 当成立时，是实数，但不能保证与都是实数，故不一定成立．故选B． 1988*4．已知三个平面、、，每两个之间的夹角都是，且，，，．若有命题甲：； 命题乙：、、相交于一点． 则 A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 ◆答案：C ★解析：、、平行或交于一点．当时，．当它们交于一点时，,选C． 1985*1、 假定有两个命题： 甲：是大于的实数；乙：且．那么( ) A．甲是乙的充分而不必要条件 B．甲是乙的必要而不充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ◆答案：B ★解析：由于且成立时，必有．故由乙可得甲，故选B 1985*10、 对任意实数，定义运算为，其中为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知，，并且有一个非零实数，使得对于任意实数都有，则 ． ◆答案： ★解析：．取，代入得，，但，故， ，．．取代入，得． 经验算：，对于一切，有成立．故． 1984*一、(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则给出反例。 ⑴若是直线同侧的两不同点，则必存在两个不同的圆，通过且与直线相切； ⑵若，且，，则； ⑶设是坐标平面上的两个点集，，若对任意，都有,则必有。 ★解析：⑴若，则只能作出一个圆过且与直线相切； ⑵ 若，则； ⑶ ，，于是恒成立，但不满足． 1983*1、 设是自然数，条件甲：是偶数；条件乙：是偶数．那么（ ） A．甲是乙的充分而非必要条件 B．甲是乙的必要而非充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 ◆答案：C ★解析：．又，故与的奇偶性相同．∴ 为偶数，得为偶数，为偶数． 为奇数，一奇一偶，为奇数．故选C．