1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：6不等式与线性规划 Word版含答案.doc

PAGE 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 不等式部分 2019B一、（本题满分40分）设正实数满足（）． 记（），证明：。 ★证明：注意到．对，由平均值不等式知 ， ……………10 分 从而有． ① ………………20 分 记①的右端为 ，则对任意，在的分子中的次数为，在 的分母中的次数为．从而。……30 分 又（） ，故，结合①得…………40分 2018B一、（本题满分40分）设是实数，函数。证明：存在，使得。 ★证明:用反证法.假设对任意的，均有，则 ，， 即，， 注意到 又矛盾！ 所以原命题得证。 2017A 9、（本题满分16分） 设为实数，不等式对所有成立，证明：。 ★证明：记 ，，则。于是 ①； ② ③ ①+②-③知， 即。 2017A 10、（本题满分20分）设是非负实数，满足，求的最小值和最大值。 ★解析：由柯西不等式 当，，时取等号，故所求的最小值为； 又 ，当，，时取等号，故所求的最小值为； 2017B 9、（本题满分16分） 设为实数，不等式对所有成立，求实数的取值范围。 ★解析：设，则，于是对所有成立，由于，， 对给定实数，设，则是关于的一次函数或常值函数，注意，因此等价于，解得 所以实数的取值范围是. 2017B一、（本题满分40分）设实数满足，令，证明： ★证明：当时，不等式显然成立 以下设，不妨设不异号，即，那么有 因此 2016A1、设实数满足，则实数的取值范围为 ◆答案： ★解析：由可得，原不等式可变形为 即，所以．又，故． 2016A一、（本题满分40分）设实数满足（）. 求的最大值。 ★解析：令 由已知得，对，均有。 若，则；下面考虑的情况.不妨记，由平均不等式得 ，当且仅当时取等号。又（），此时,即所求最大值为。 2016B 2、设，则平面点集的面积为 ◆答案： ★解析：点集如图中阴影部分所示，其面积为 2015A6、在平面直角坐标系中，点集 所对应的平面 区域（如图所示）的面积为 ◆答案： ★解析：设． 先考虑在第一象限中的部分，此时有,故这些点对应于图中的△OCD及其内部．由对称性知，对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD及其内部． 同理，设，则对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部． 由点集的定义知，所对应的平面区域是被、中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S． 由于直线CD的方程为，直线GH的方程为，故它们的交点P的坐标为．由对称性知，． 2015A一、（本题满分40分）设实数（）是实数.证明：可以选取使得。 ★证明： 证法一：我们证明：，① 即对，取，对，取符合要求．（这里，表示实数的整数部分．） 10分 事实上，①的左边为 （柯西不等式）30分 （利用） （利用） ． 所以 ① 得证，从而本题得证． 证法二：首先，由于问题中的对称性，可设．此外，若将中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的不减，而右边的不变，并且这一手续不影响的选取，因此我们可进一步设． 10分 引理：设，则． 事实上，由于，故当是偶数时， ， ． 当是奇数时， ， ． 引理得证． 30 分 回到原题，由柯西不等式及上面引理可知 ， 这就证明了结论． 40分 证法三：加强命题：设（）是实数，证明：可以选取，使得 . 证明 不妨设，以下分为奇数和为偶数两种情况证明. 当为奇数时，取，，于是有 （应用柯西不等式）. ① 另外，由于，易证有， 因此，由式①即得到， 故为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当，，且时取等号. 当为偶数时，取，，于是有 （应用柯西不等式）. ， 故为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当时取等号，若不全为零，则取不到等号. 综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2015B一、（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数都有： ，并确定等号成立的充要条件．。 ★解析：当不全相等时，原不等式等价于 ．上式可化简为 , 即 ． ① 考虑到，故由平均不等式得， ． ② 因此原不等式成立． 20 分 下面考虑等号成立的充分必要条件． 注意到②中等号成立的充分必要条件是． 若，则，显然 ，与条件矛盾！ 若，则，但不全为0，不妨设，则．类似可得其余两种情况，即中恰有一个非零．这时原不等式中等式确实成立． 因此，原不等式等号成立当且仅当中有两个是0，另一个为正数．40 分 2010A三、（本题满分50分）给定整数