1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：9二项式定理计数概率与统计 Word版含答案.doc

PAGE 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 计数问题、概率与统计部分 2019A 5、在?中随机选出一个数，在?中随机选出一个数，则被整除的概率为 ． ◆答案： ★解析：首先数组有?种等概率的选法． 考虑其中使被整除的选法数N．①若被 3 整除，则也被 3 整除．此时各有3种选法，这样的有 组．若不被 3 整除，则，从而．此时有7 种选法，有4种选法，这样的有组． 因此．于是所求概率为。 2019A 8、将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数（首位不为），则产生的不同的位数的个数为 ． ◆答案： ★解析：将的首位不为的排列的全体记为，记为的元素个数。 易知．将中的后一项是，且的后一项是的排列的全体记为B ；A中的后一项是0 ，但的后一项不是的排列的全体记为C；A中1的后一项是9，但2的后一项不是0 的排列的全体记为D．易知,， , 即,,．由B中排列产生的每个8位数，恰对应B中的个排列（这样的排列中，20 可与“2, 0 ”互换，19可与“1, 9 ”互换）．类似地，由C 或 D 中排列产生的每个 8 位数，恰对应C 或 D 中的2个排列．因此满足条件的 8 位数的个数为. 2019B 5. 将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数（首位不为），则产生的不同的位数的个数为 ． ◆答案： ★解析：易知的所有不以0 为开头的排列共有个．其中，除了和这两种排列对应同一个数，其余的数互不相等．因此满足条件的位数的个数为． 2019B 6. 设整数，的展开式中与两项的系数相等，则的值为 ． ◆答案： ★解析：注意到，其中项仅出现在求和指标时的展开式中，其项系数为；而项仅出现在求和指标时的展开式中，其项系数为， 因此有，注意到，化简得，故只能是为奇数且．解得． 2018A 3、将随机排成一行，记为，则是偶数的概率为 ◆答案： ★解析：先考虑为奇数时，，一奇一偶，①若为奇数，则为的排列，进而为的排列，这样共有种；②若为偶数，由对称性得，也有种，从而为奇数的概率为，故所求为 2018B 3、将随机排成一行，记为，则是奇数的概率为 ◆答案： ★解析：由为奇数时，，一奇一偶，①若为奇数，则为的排列，进而为的排列，这样共有种；②若为偶数，由对称性得，也有种，从而为奇数的概率为。 2017A 6、在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为的概率为 ◆答案： ★解析：由题意得有个点，故从中取出三个点共有种。 将中的点按右图标记为，其中有对点之间的距 离为，由对称性，考虑取两点的情况，则余下的一个点有 种取法，这样有个三点组（不考虑顺序）。对每个（），中恰有两点与之的距离为（这里下标按模8可以理解），因而恰有这个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为，进而所求的概率为。 2017B 6、在平面直角坐标系中，点集，在中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离不超过的概率为 ◆答案： ★解析：注意中共有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种， 当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况： （1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况， （2）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，有种情况， （3）三点是边长为的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于的有4个，直角顶点位于，的各有一个，共有8种情况. 综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为，进而所求概率为. 2016A 4、袋子中装有张元纸币和张元纸币，袋子中装有张元纸币和张元纸币，现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则中剩下的纸币面值之和大于中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案： ★解析：一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值小于从B中取走的两张纸币的总面值，从而．故只能从A中国取走两张1元纸币，相应的取法数为．又此时，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有种取法．因此，所求的概率为． 2016B 5、将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ◆答案： ★解析：样本空间中有个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为 过所求的概率为 2015A 5、在正方体中随机取条棱，他们两两异面的概率为 ◆答案： ★解析：设正方体为ABCD-EFGH，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有=220种． 下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB、AD、AE