1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：7立体几何 Word版含答案.doc

PAGE 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 立体几何部分 2019A7、如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，则的值为 ． ◆答案： ★解析：作图延长交于点,连接交于点，则 截面为，由于面面，知为棱台，则. 不妨设正方体棱长为，则正方体体积为，结合条件知棱台的体积为， 设，则，由于 所以，解得。 所以. 2019B 4. 设三棱锥满足，，则该三棱锥的体积的最大值为 ． ◆答案： ★解析：设三棱锥的高为．取为棱的中点，则， 当平面垂直于平面时，取到最大值．此时三棱锥的体积取到最大值为。 2018A 2、设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与平面所成角不小于且不大于，则这样的点所构成的区域的面积为 ◆答案： ★解析：设点在平面上的射影为，由条件知，即，所以区域的面积为。 2018B 2、已知圆锥的顶点为，底面半径长为，高为．在圆锥底面上取一点，使得直线与底面所成角不大于，则满足条件的点所构成的区域的面积为 ◆答案： ★解析:记圆锥的顶点在底面的投影为，则为底面中心，且，即，故所以区域的面积为。 2017A 5、正三棱锥中，，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 ◆答案： ★解析：设的中点分别为，则平面即平面，则中线， 则。 又棱与平面的射影线是直线，而，所以 ，即为所求。 2017B 5、在正四面体中，分别在棱上，满足，且与面 平行，则的面积为 ． ◆答案： ★解析：由条件知，平行于，因为正四面体的各个 面是全等的正三角形，故，. 由余弦定理得， ， 同理有. 作等腰底边上的高，则，故， 于是. 2016A 5、设为圆锥曲线的顶点，，，是其地面圆周上的三点，满足，为线段的中点。若，，，则二面角的大小为 ◆答案： ★解析：由=90°知，AC为底面圆的直径．设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而． 设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点．在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角M—BC—A的平面角． 因，结合与平行知，，即，这样．故二面角M—BC—A的大小为． 2016B 7、已知正四棱锥的高等于长度的一半，是侧棱的中点， 是侧棱上点，满足，则异面直线,所成角的余弦值为 ◆答案： ★解析：如图，以底面的中心为坐标原点， 的方向为轴的正向，建立空间直角坐标系． 不妨设此时高从而 由条件知， 因此 设异面直线所成的角为，则 2015B 4、设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，则 ◆答案： ★解析：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1．则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角， 因此∠A1OC1=, 又△OA1C1是等边三角形．故A1O= A1C1=，所以 ． 2014A 5、正四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离为 ◆答案： ★解析：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。 由于PO是底面的垂线，故PO⊥CH，又AC⊥CH，所以CH⊥平面POC，故CH⊥PC。 因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又，故异面直线MN与PC之间的距离是。 2014B 2、在如下图所示的正方体中，二面角等于 ◆答案： （亦可以写成等） ★解析：设与的交点为，显然，根据三垂线 定理，与都垂直于，所以我们所求的角即为 不妨设该正方体的棱长为，可以求得,, 由余弦定理可得，故二面角等于。 2013A 4、已知正三棱锥的底面边长为，高为，则其内切球半径为 ◆答案： ★解析：如图，设球心在面和面内的射影分别是和， 中点为，内切球半径为，则共线，共线， ，且，， ,, 所以,解得 2013B 4、已知正三棱锥的底面边长为1，高为，则其内切球半径是 ． ◆答案： ★解析：如图，设球心在面和面内的射影分别是和， 中点为，内切球半径为，则共线，共线， ，且，， ,, 所以,解得 2012A 5、设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 ◆答案： ★解析：如图.连结,则平面,垂足为 正的中心,且过球心,连结并延长交 于点,则为的中点,且,易知 分别为正三棱锥的 侧面与底面所成二角的平面角,则 ,从而,因为 所以即 所以, 故 2012B 6、长方体中，,是的中点，是