1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编：14数论 Word版含答案.doc

PAGE 1981年~2019年全国高中数学联赛二试试题分类汇编 数论部分 2019A 5、在?中随机选出一个数，在?中随机选出一个数，则被整除的概率为 ． ◆答案： ★解析：首先数组有?种等概率的选法． 考虑其中使被整除的选法数N．①若被 3 整除，则也被 3 整除．此时各有3种选法，这样的有 组．若不被 3 整除，则，从而．此时有7 种选法，有4种选法，这样的有组． 因此．于是所求概率为。 2019A三、（本题满分 50 分）设为整数，．整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，均有．证明：若存在整数, ( )使得，则． ★解析：证明：不妨设互素（否则，若，则互素，并且用代替，条件与结论均不改变）． 由数列递推关系知． ① 以下证明：对任意整数，有． ② ………10 分 事实上，当时②显然成立．假设时②成立（其中为某个大于2的整数），注意到①，有，结合归纳假设知 ，即时②也成立．因此②对任意整数均成立． ………………20 分 注意，当时，②对也成立． 设整数, ( )，满足． 若，由②对均成立，可知 即，即 ． ③ 若，则故．此时由于②对均成立， 故类似可知③仍成立． ………………30 分 我们证明互素． 事实上，假如与存在一个公共素因子 ，则由①得为的公因子，而互素，故，这与矛盾． 因此，由③得．又，所以． ………………50分 2018A四、（本题满分50分）数列定义如下：是任意正整数，对整数，与互素，且不等于的最小正整数，证明：每个正整数均在数列中出现。 ★证明：显然或者.下面考虑整数，设有个不同的素因子，我们对归纳证明在中出现.记，. 时，是素数方幂，记，其中，是素数.假设不在中出现.由于各项互不相同，因此存在正整数，当时，都有.若对某个，，那么与互素，又中无一项是，故有数列定义知，但是，矛盾！ 因此对每个，都有.又，可得，从而与不互素，这与的定义矛盾！ 假设，且结论对成立.设的标准分解为.假设不在中出现，于是存在正整数，当时，都有.取充分大的正整数，使得. 我们证明，对，有. 对于任意，若与互素，则与互素，又在中均未出现，而，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意，与不互素， ⑴若存在（），使得，则，故，从而（因为）。 ⑵若对每个（），均有，则由知，必有.于是，进而，即.故由知：存在（），使得，再由及前面的假设，可知，故。 因此，对，均有，而，故不在中出现，这与假设矛盾！因此，若有个不同的素因子，则一定在数列中出现. 由数学归纳法知，所以正整数均在数列中出现。 2018B四、（本题满分50分）给定整数。证明：对任意正整数，存在正整数，使得连续个数，均是合数。 ★证明:设是中与互素的全体整数，则，，无论正整数如何取值，均与不互素且大于，故为合数。 对任意，因，故有素因子. 我们有（否则，因是素数，故，但，从而，即与不互素，与的取法矛盾）.因此，由费马小定理知， 现取，对任意，注意到，故有.又，故为合数。 综上所述，当时，，均是合数。 2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数 是 ◆答案： ★解析：考虑平稳数。 ①若，则，，有个平稳数； ②若，则，，有个平稳数； ③若，则，，有个平稳数； ④若，则，有个平稳数； 综上可知，平稳数的个数为。 2017B 8、若正整数满足，则数组的个数为 ◆答案： ★解析：由条件知，当时，有，对于每个这样的正整数，由知，相应的的个数为，从而这样的正整数组的个数为， 当时，由，知，，进而， 故，此时共有2组. 综上所述，满足条件的正整数组的个数为. 2016A 8、设是中的个互不相同的数，满足，则这样的有序数组的个数 为 ◆答案：40 ★解析：由柯西不等式知，，等号成立的充分必要条件是，即成等比数列．于是问题等价于计算满足…的等比数列的个数．设等比数列的公比，且为有理数．记，其中为互素的正整数，且．先考虑的情况． 此时，注意到互素，故为正整数． 相应地，分别等于，它们均为正整数．这表明，对任意给定的，满足条件并以为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数的个数，即． 由于，故仅需考虑这些情况，相应的等比数列的个数为 ． 当时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列． 综上可知，共有40个满足条件的有序数组． 2016A四、（本题满分50分）设与均是素数，，数列定义为，，，这里表示不小于实数的最小整数。 证明：对，均有成立。 ★证明：首先注意到，数列是整数数列。对用数学归纳法。 当时，由条件知，故，又与均是素数，且，故必须，因此，即时，结论成立。 对，设时结论成立，即，此时， 故 故对时，有 ，