第八章 状态变量分析法.ppt

因此(5)式可以化为二阶差分方程 (6) 令状态变量 , 则 写出状态方程 写出矩阵形式 式中， 则根据定理8-1判断系统的稳定性，即讨论特征方程式的系数。由于经济系统加速数 ，边际消费倾向 当 成立时，三部门经济系统模型是稳定的。 其特征多项式为 8-7 系统的能控性和可观测性 系统的可控制性也称为能控制性，简称为可控性或能控性。 系统的可观测性也称为能观测性，简称为可观性或能观性。 系统的能控性和能观测性是动态系统进行状态估计、系统辨识以及实现最优化控制的基础。可以应用在经济系统中，为经济体制改革提供理论依据。 8-7-1 系统的能控性 对于一个实际系统，总希望输入信号能够对状态实行完全控制，从而使系统具有预期的动态特性。对于经济系统来说，能控性是指一个经济系统的外生变量对经济系统的内生变量能产生多大影响的问题。 1、状态能控性 【定义】当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到容许的输入量（即控制矢量），在有限时间之内把系统的所有状态引向状态空间的原点。如果可以做到这一点，则称系统式完全可控的。如果只有部分主体变量可以做到这一点，则称系统部完全可控制的。 【判据】系统状态能控的充分必要条件是矩阵 满秩，即 。 称为系统的能控性矩阵。 【例题8-13】设某一经济系统的状态方程为 解： 系统能控性矩阵的秩为 rank = 因此，系统能控。 要求判断系统的能控性 其中， 是k个状态向量。 为一已知常向量。 8-7-2 系统的能观测性 能观测性事动态系统的又一重要的基本属性，它与能控性有着密切的联系。能观测性问题研究的是能否根据系统的输出来确定系统状态的问题，它反映的是从系统的输出中能够获得多少系统信息的问题。 设经济系统为 【定义】如果对某个正整数N，初始状态 能由输出向量 【定理】系统能观测的充分必要条件是矩阵 满秩，即秩rank 。 称为系统的能控性矩阵。 (n=1,2,...,N-1)，唯一确定，则称系统是能观测的。 【例题8-16】判定例题8-14系统的能观测性 解： 由于能观测矩阵 rank ，根据定理可知，系统能观测。 （4） 即 为了得到状态空间表达式，将(3)式变换为 或 （5） 再由(1)和(2)式得到 或者： （6） 令 即 （7） 则，状态变量为 将(7)式代入(5)、(6)式，得 （8） 整理得， 将(7)式代入(1)式，得 （9） 将(8)(9)式整理成矩阵形式，得到系统的状态空间表示式 其中， 如果令 其中， 8-4 连续时间系统状态方程的求解 求解状态方程有时域和变换域两种解法，这里只介绍变换域求解。 (1)矩阵形式的状态方程为 (8-19) (8-20) 经整理得 (8-21) 其中I是n×n的单位矩阵。如果(sI-A)是可逆的，则有 (8-22) 令 则 对上式进行拉普拉斯反变换得 (2) 输出方程的一般形式为 对上式两边进行拉普拉斯变换得 将 带入上式，经整理得 （3）系统函数 当 ，由上式可知系统的零状态响应的拉普拉斯变换为 所以系统函数矩阵 为 矩阵H(s)第l行第k列元素Hlk(s)确定了系统第k个输入对第l个输出的贡献 【例题8-8】已知某连续时间系统的状态方程和输出方程为 其初始状态和输入分别为 解： 从状态方程和输出方程中得到系数 利用变换域解法求状态变量时域解。 首先要计算矩阵 其相应的行列式 伴随矩阵 则 则 则取拉普拉斯逆变换得到系统的状态变量 电路的输出方程 则输出变量为 8-5 离散时间系统状态方程的求解 已知离散时间系统的状态方程和输出方程为 经整理得 将上式两边取z变换，得 其中I是n×n的单位矩阵。如果(zI-A)是可逆的， 令 则有 对上式进行逆反变换得 (2) 输出方程的一般形式为 将上式两边取z变换，得 将 带入上式，经整理得 由上式可知，系统的零输入响应的z变换为 系统的零状