第10讲收敛性与稳定性方程组与高阶方程.DOC
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第五章 常微分方程的差分方法
5.3 线性多步法
一、教学目标及基本要求
通过对本节课的学习,使学生掌握常微分方程、常微分方程方程组的线性多步法。
二、教学内容及学时分配
本节课主要介绍常微分方程的数值解法。具体内容如下:
讲授内容:欧拉公式、改进的欧拉公式。
三、教学重点难点
1.教学重点:开型求解公式,闭型求解公式。
2. 教学难点:收敛性与稳定性。
四、教学中应注意的问题
多媒体课堂教学为主。适当提问,加深学生对概念的理解
五、正文
线性多步法及其收敛性与稳定性、方程组与高阶方程
1 引言 收敛性问题
微分方程数值解法的基本思想是:通过某种离散化手段,将微分方程转化为差分方程(代数方程)来求解。这种转化是否合理,还要看差分问题的解,当时是否会收敛到微分方程的准确解需要注意的是,如果只考虑,那么节点对固定的n将趋向于,这时讨论收敛性是没有意义的,因此,当时,同时时才合理。
定义:若一种数值方法对于任意固定的,当(同时)时,有则称该方法是收敛的。
考察欧拉公式 (1)
设为在条件下按欧拉公式计算的结果,
(2)
即为局部截断误差。
,存在常数C使 (3)
考虑整体截断误差(无条件),由于
(4)
(1)-(2)得:
由常微分方程李普希兹条件得:
(5)
由(3),(4),(5)式得
递推得
又,设(T为定数),则
故
若初值准确,则时,欧拉公式是收敛的。
进一步考察一般的单步法:所谓单步法,就是在计算时只用到它前一步的信息。显式单步法的共同特征是,它们都是将加上某种形式的增量得出, 其计算公式的形式为:,称为增量函数,不同的单步法,对应不同的增量函数。
定理:单步法满足条件(李普希兹条件),且设初值是准确的, 即 ,则该单步法是收敛的。
2稳定性问题
对于一个数值方法,即使是收敛的,由于初始值一般都带有误差,同时,在计算过程中还常常产生舍入误差,这些误差又必然会传播下去,对后续的计算结果都将产生影响,数值稳定性问题是讨论这种误差的积累和传播能否得到控制的问题。
定义 若用某一数值方法计算时, 所得到的实际计算结果为,且由扰动引起以后各节点的扰动为,如果总有则称该方法是稳定的。
一种数值方法是否稳定,不仅与该数值方法本身有关,而且还与微分方程的右端函数,以及步长h有关,因此稳定性问题比较复杂。为了简化讨论只考虑模型方程
,
欧拉公式稳定性:
处有扰动,它的传播使节点产生扰动,假设欧拉公式计算中不再引入新误差,则
如果原差分方程的解不增长,即有,就能保证欧拉方法的稳定性。
的解不增长,h需要充分小,使。故欧拉方法是条件稳定的。
隐式欧拉公式稳定性:
由于,恒成立,从而,隐式欧拉公式是恒稳定的。
3 方程组与高阶方程
(1)一阶方程组
直接推广各种算法到方程组
如
令,表示节点上的近似解。
改进的欧拉公式为:
预报校正
四阶龙格-库塔方法为:
(2)化高阶方程为一阶方程组
对,引入新变量即可化为一阶方程组:
例 将高阶方程y″-3y′+2y=0,y(0)=1,y′(0)=1化为一阶方程组
小结
本节课我们主要了解了改进的欧拉公式、龙格库塔方法、收敛性与稳定性。收敛性与稳定性需要大家熟练掌握。
作业:课后习题9.
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