直线、平面平行垂直的判定及其性质.ppt

4. 直线和平面所成的角 平面的斜线和斜线在平面上的射影的夹角. 要点: (1) 由线面垂直找射影; (2) 在三角形中计算. 特例: (1) 线面垂直, 线面角为90?. (2) 线面平行或在其内, 线面角为0?. 5. 直线与平面垂直的性质 垂直于同一个平面的两条直线平行. l1⊥a, l2⊥a, ? l1//l2. 由线面垂直得线线平行. 6. 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. a b l A B P Q 记作 二面角 a-l-b, 二面角 a-AB-b, 二面角 P-l-Q, 二面角 P-AB-Q. 7. 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小由它的平面角确定. a b l A B O · a b l A B O ∠AOB 是二面角 a-l-b 的平面角. 8. 两平面垂直的定义与判定 定义: 判定: 两个平面相交成直二面角时, 称这两个平面互相垂直. 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直. a b l l⊥a, l ?b, ? b⊥a. 9. 两平面垂直的性质 ⊕两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. a⊥b, a∩b = m, l⊥m, l ?a, ? l⊥b. a b m l ⊕两平面垂直, 平行于一平面的直线垂直于另一平面. 返回目录 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: MN⊥平面PCD. P A B C D M N 分析: 需证MN垂直△PCD三边中的两边. 若 MN⊥平面PCD, 注意 N 是 PC 的中点, 则 MN 必是 PC 的中垂线. 即考虑 MP=MC. 于是思考是否△PAM≌△CBM, 由此可得 MN⊥PC. 又如此思考 MN 是否是 AB 的中垂线, 即 NA=NB 是否成立? NA, NB分别是Rt△PAC和Rt△PBC斜边PC的中线, NA=NB 即可成立. 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: MN⊥平面PCD. P A B C D M N 证明: ∵PA⊥矩形ABCD, ∠PDA=45?, 连结 PM, CM, ∴△PAD是等腰直角三角形. 则 PA=AD=BC. 又 M 是 AB 的中点得 AM=BM, 得 Rt△PAM≌Rt△CBM, ∴MP=MC. 而 N 是 PC 的中点, ∴ MN⊥PC. ① P A B C D M N 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: MN⊥平面PCD. 证明: ∵PA⊥矩形ABCD, ∠PDA=45?, 连结 PM, CM, ∴△PAD是等腰直角三角形. 则 PA=AD=BC. 又 M 是 AB 的中点得 AM=BM, 得 Rt△PAM≌Rt△CBM, ∴MP=MC. 而 N 是 PC 的中点, ∴ MN⊥PC. ① 由 PA⊥矩形ABCD, 得△PAC 是直角三角形. 由 CB⊥AB, CB⊥PA, 得△PBC 是直角三角形. 则 AN, BN 是两直角三角形斜边 PC 的中线, ∴AN=BN, 得 MN 是 AB 的中垂线, ∴ MN⊥AB. 由 AB//DC, 得 MN⊥DC. ② 由①②得 MN⊥平面 PCD. 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: MN⊥平面PCD. P A B C D M N 其他思考: E 思考一: 证 MN⊥PC 同上. 要证 MN⊥DC, 可作△PCD 的中位线 NE. 证 DC⊥平面 NEM, 即可证得 DC⊥MN. 例 1. 如图, 已知PA垂直于矩形ABCD所在平面, M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45?. 求证: MN⊥平面PCD. P A B C D M N 其他思考: F 思考二: 将 MN 平移到平面 PAD 内, 即取 PD 中点 F, 可证得 AF//MN. 只需证 AF⊥平面