直线平面垂直的判定及其性质.pdf

直线、平面垂直的判定及其性质

1．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，

∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，

且AB⊥DA．

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；

2

(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，

3

求三棱锥Q-ABP的体积．

解：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC．

又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．

又AB平面ABC，

所以平面ACD⊥平面ABC．

(2)解：由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝32.

2

又BP＝DQ＝DA，所以BP＝22.3

1

如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC．

3

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由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，

所以QE⊥平面ABC，QE＝1.

因此，三棱锥Q-ABP的体积为

111

V＝×S×QE＝××3×22sin45°×1＝1.

Q-ABP3△ABP32

2．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝22，

PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距

离．

解：(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP

⊥AC，且OP＝23.

2

．

如图，连接OB因为AB＝BC＝AC，

2

所以△ABC为等腰直角三角形，

1

且OB⊥AC，OB＝AC＝2.

2

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由OP＋OB＝PB知，OP⊥OB222．

由OP⊥OB，OP⊥AC知，PO⊥平面ABC．

(2)如图，作CH⊥OM，垂足为H，

又由(1)可得OP⊥CH，

所以CH⊥平面POM.

故CH的长为点C到平面POM的距离．

1242

由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，所

233

25OC·MC·sin∠ACB45

以OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM

3OM5

45

的距离为.