高考数学空间向量与立体几何解答题专项训练含答案.pdf

专题1.7空间向量与立体几何

考向解读

(1)高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及

二面角的求解，考查数形结合的想，空间想象能力及运算求解能力等.

主要有两种考查形式：

①利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；

②考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面

的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空

间立体几何问题转化为空间向量问题.

(2)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：

①建立恰当的空间直角坐标系；

②求出相关点的坐标；

③写出向量坐标；

④结合公式进行论证、计算：

⑤转化为几何结论.

(3)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通

过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还

是钝角.注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补

角.设平面a,B的法向量分别为及,◎),尸(a*,a),平面a,。的夹角为。(0464口)，

则|cos01==|cos〈〃〉|.

(4)用向量解决探索性问题的方法：

①确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求.

②确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而

不是直接设出点的坐标.

③解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转

化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、

有效，应善于运用这一方法解题.

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最新模拟题赏析

1.已知梯形8FEC如图1所示，其中BF//EC，EC=3,BF=2,四边形4BCD是边

长为1的正方形，沿AO将四边形瓦》尸折起，使得平面EDAF_L平面ABC。，得到如

图2所示的几何体.

（1）求证：平面AEC_L平面切组；

2（）若点H在线段8。上，且£”与平面庞五所成角的正弦值为逅，求线段£）”的长

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度.

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨第三中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟（理）

【答案】（1）证明见解析；2（）Y2.

2

【分析】1（）利用折前折后的不变量先证明线面垂直，再进一步得到面面垂直.

2（）建系求平面BE产法向量，建立方程求解.

【解析】（1）因为平面94方_1_平面A8CD,。石u平面瓦加尸，

平面瓦凶尸口平面43CD=AO，DEA.AD,所以DEL平面A8CO，

因为ACu平面ABCO,所以QEJ_AC，

因为四边形ABC。是正方形所以AC_L80，

因为DE、3£u平面BOE，DEcBD=D,所以ACJ•平面BOE，

因为ACu平面ACE所以平面AEC1平面BDE：

2（）建系如图：

2

设平面3环的法向量百二x（,y,z）,石0（,0,2）,尸1（,0』），B（,,0）,

EFn=0

则1二